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Concept
Base canonique
Résumé
En mathématiques, plus précisément en algèbre linéaire, certains espaces vectoriels possèdent une base qualifiée de canonique ; il s'agit d'une base qui se présente de manière naturelle d'après la manière dont l'espace vectoriel est présenté. C'est ainsi que l'on parle de la base canonique de R, de la base canonique de l'espace vectoriel des matrices ou de celui des polynômes. En revanche sur un espace vectoriel quelconque, la notion n'a pas de sens : il n'y a pas de choix de base privilégiée.
La propriété spécifique de ces bases canoniques est que pour tout vecteur v de l'espace, les coordonnées de v dans la base canonique sont données par les composantes mêmes (coefficients) qui constituent v.
Soit K un corps commutatif et n un entier naturel.
La base canonique de K, également appelée base standard, est la base où pour i compris entre 1 et n, le vecteur est défini par :
où désigne le symbole de Kronecker :
Ici, 0 désigne le neutre de la première loi de K et 1 celui de la seconde.
Il est important de se rappeler qu'une base a autant de vecteurs que la dimension de l'espace vectoriel.
La base canonique du plan vectoriel R est constituée des deux vecteurs :
La base canonique de l'espace R à trois dimensions se compose des trois vecteurs :
Pour n entier, le produit scalaire canonique de K est celui pour lequel la base canonique est orthonormée.
Lorsque le corps est le corps des réels R, l'orientation canonique de R est celle pour laquelle cette base est directe.
Exemples d'espaces vectoriels
Dans l'anneau des polynômes sur un corps K, vu comme espace vectoriel sur K, la base canonique est la famille des monômes .
Cette base est infinie. Comme pour toute base d'un espace vectoriel, tout vecteur (donc ici tout polynôme) s'écrit comme une combinaison linéaire faisant intervenir un nombre fini d'éléments de la base.
Dans l'espace des matrices à n lignes et p colonnes, la base canonique est l'ensemble des : ce sont les matrices qui présentent un 1 à l'intersection de la i ligne avec la j colonne, et des 0 partout ailleurs.
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