Distributivité

En mathématiques, plus précisément en arithmétique et en algèbre générale, la distributivité d'une opération par rapport à une autre est une généralisation de la propriété élémentaire : « le produit d'une somme est égal à la somme des produits ». Par exemple, dans l'expression 2 × (5 + 3) = (2×5) + (2×3), le facteur 2 est distribué à chacun des deux termes de la somme 5 + 3. L'égalité est alors bien vérifiée : à gauche 2 × 8 = 16, à droite 10 + 6 = 16. Cette propriété est vraie pour tout triplet (x, y, z) d'entiers naturels, d'entiers relatifs, de nombres rationnels, de nombres réels ou de nombres complexes : x × (y + z) = (x × y) + (x × z) On parle alors de distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. En algèbre générale, la distributivité est généralisée à d'autres opérations que l'addition et la multiplication. Une loi de composition interne ∘ est distributive par rapport à une autre loi interne ∗ dans un ensemble E si pour tout triplet (x, y, z) d'éléments de E, on a les propriétés suivantes : x ∘ (y ∗ z) = (x ∘ y) ∗ (x ∘ z) (distributivité à gauche) (x ∗ y) ∘ z = (x ∘ z) ∗ (y ∘ z) (distributivité à droite) En arithmétique, les deux opérations considérées lorsqu'on parle de distributivité sont l'addition et la multiplication. La multiplication est distributive par rapport à l'addition : x × (y + z) = (x × y) + (x × z) mais l'addition n'est pas distributive par rapport à la multiplication : sauf cas spéciaux (comme x = 0), en général, x + (y × z) ≠ (x + y) × (x + z) Si les facteurs d'un produit sont des sommes, on peut effectuer les produits terme à terme puis effectuer la somme. Cette propriété est souvent utilisée, en calcul mental ou en informatique, pour calculer un produit d'entiers de façon efficace. Exemple 1 235 × 99 = 235 × (100 – 1) = 23 500 – 235 = 23 265 De même, la multiplication par les nombres uniformes 9, 99, 999, etc. se ramène à une soustraction en utilisant la distributivité. Exemple 2 458 × 592 = (400 + 50 + 8) × (500 + 90 + 2) = 200 000 + 36 000 + 800 + 25 000 + 4 500 + 100 + 4000 + 720 + 16 = 271 136.