Distributivité

En mathématiques, plus précisément en arithmétique et en algèbre générale, la distributivité d'une opération par rapport à une autre est une généralisation de la propriété élémentaire : « le produit d'une somme est égal à la somme des produits ». Par exemple, dans l'expression 2 × (5 + 3) = (2×5) + (2×3), le facteur 2 est distribué à chacun des deux termes de la somme 5 + 3. L'égalité est alors bien vérifiée : à gauche 2 × 8 = 16, à droite 10 + 6 = 16. Cette propriété est vraie pour tout triplet (x, y, z) d'entiers naturels, d'entiers relatifs, de nombres rationnels, de nombres réels ou de nombres complexes : : x × (y + z) = (x × y) + (x × z) On parle alors de distributivité de la multiplication par rapport à l'addition. En algèbre générale, la distributivité est généralisée à d'autres opérations que l'addition et la multiplication. Une loi de composition interne ∘ est distributive par rapport à une autre loi interne ∗ dans un ensemble E si pour tout triplet (x, y, z) d'élémen

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Unique decomposition of homogeneous languages and application to isothetic regions

Nicolas René Jean Ninin

A language is said to be homogeneous when all its words have the same length. Homogeneous languages thus form a monoid under concatenation. It becomes freely commutative under the simultaneous actions of every permutation group G(n) on the collection of homogeneous languages of length n is an element of N. One recovers the isothetic regions from (Haucourt 2017, to appear (online since October 2017)) by considering the alphabet of connected subsets of the space vertical bar G vertical bar, viz the geometric realization of a finite graph G. Factoring the geometric model of a conservative program amounts to parallelize it, and there exists an efficient factoring algorithm for isothetic regions. Yet, from the theoretical point of view, one wishes to go beyond the class of conservative programs, which implies relaxing the finiteness hypothesis on the graph G. Provided that the collections of n-dimensional isothetic regions over G (denoted by R-n vertical bar G vertical bar) are co -unital distributive lattices, the prime decomposition of isothetic regions is given by an algorithm which is, unfortunately, very inefficient. Nevertheless, if the collections R-n vertical bar G vertical bar satisfy the stronger property of being Boolean algebras, then the efficient factoring algorithm is available again. We relate the algebraic properties of the collections R-n vertical bar G vertical bar to the geometric properties of the space I GI. On the way, the algebraic structure R-n vertical bar G vertical bar is proven to be the universal tensor product, in the category of semilattices with zero, of n copies of the algebraic structure R-1 vertical bar G vertical bar.

2019

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Cooperative coding on orthogonal information networks

Dinkar Vasudevan

The focus of this thesis is on communication over cooperative information networks. In the first half of the thesis, we consider lossy source coding problems where a relay assists in the communication of a source stream between two terminals. The following two configurations are studied – (1) The Slepian-Wolf problem setup when the two encoding terminals are allowed a certain degree of collaboration in describing the source to the decoder and (2) A cascade communication system where the communication between the source and the destination is enabled through a relay (or a set of relays). We characterize rate-distortion tradeoffs and compute it explicitly for specific cases when the sources are respectively, jointly Gaussian and binary symmetric. In the second half of the thesis, we consider channel coding over orthogonal information networks. In particular, we find bounds to the capacity region of networks of Multiple Access Channels (MACs) and networks of Deterministic Broadcast Channels (DBCs). We propose a two layered achievability scheme for communication over such networks – consisting of a physical layer that involves "cleaning up" the constituent channels in the network to create a point-to-point wired overlay, and a network layer that involves routing over this wired overlay. We also consider two multicast problems over orthogonal networks. The first problem is the multiple-access multicast problem over a network of DBCs. In the second problem, we consider multicasting a common message along with independent "private messages" from a source node to a set of receivers on a wired network and characterize the capacity region when the network satisfies a certain min-cut property.

EPFL2009

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A Basic Property of MOS Transistors and its Circuit Implications

Christian Enz, François Krummenacher

2005

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CS-101: Advanced information, computation, communication I

Discrete mathematics is a discipline with applications to almost all areas of study. It provides a set of indispensable tools to computer science in particular. This course reviews (familiar) topics as diverse as mathematical reasoning, combinatorics, discrete structures & algorithmic thinking.

CS-308: Quantum computation

The course introduces teh paradigm of quantum computation in an axiomatic way. We introduce the notion of quantum bit, gates, circuits and we treat the most important quantum algorithms. We also touch upon error correcting codes. This course is independent of COM-309.

MATH-111(en): Linear algebra (english)

The purpose of the course is to introduce the basic notions of linear algebra and its applications.