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Concept
Théorie des cribles
Résumé
En mathématiques, la théorie des cribles est une partie de la théorie des nombres ayant pour but d'estimer, à défaut de dénombrer, les cardinaux de sous-ensembles (éventuellement infinis) de N en approchant la fonction indicatrice du sous-ensemble considéré.
Cette technique a pour origine le crible d'Ératosthène, et dans ce cas, le but était d'étudier l'ensemble des nombres premiers.
Un des nombreux résultats que l'on doit aux cribles a été découvert par Viggo Brun en 1919. Il a permis de montrer que la somme des inverses des nombres premiers jumeaux est finie, résultat inattendu qui laisse ouverte la possibilité d'un nombre fini de nombres premiers jumeaux.
Actuellement, les cribles sont considérés comme une branche très prometteuse de la théorie des nombres.
Les explications du crible d'Ératosthène faisant l'objet d'un article séparé, elles ne seront pas reprises ici.
La méthode du crible d'Ératosthène débouche sur une formule attribuée à Da Silva et James Joseph Sylvester appelée formule du crible, mais très probablement beaucoup plus ancienne sous une forme ou sous une autre. Elle est liée notamment au principe d'inclusion-exclusion et à la formule de Poincaré, vue essentiellement dans le cadre ensembliste ou en probabilité, mais de manière assez lâche.
Dans l'ensemble {1, 2, ..., n }, soient P1,P2,...,Pm m relations portant sur ces entiers et W(r) le nombre des entiers qui satisfont à r relations Pi.
Alors, le nombre des entiers qui ne satisfont à aucune des relations Pi est donné par la formule
Donnons un exemple :
Le nombre des entiers plus petits que n qui ne sont pas divisibles par les m nombres a1, a2, ..., am, supposés premiers entre eux deux à deux est égal à
où [x] désigne la partie entière de x.
On note traditionnellement le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à .
Utilisant un procédé voisin de la formule du crible (qui porte ainsi le nom de crible d'Ératosthène-Legendre), Legendre trouve finalement la formule de Legendre (1808)
où la somme est étendue à tous les diviseurs du produit , désignant les nombres premiers inférieurs ou égaux à .
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