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Concept
Homologie de Hochschild
Résumé
L’homologie de Hochschild et la cohomologie de Hochschild sont des théories homologiques et cohomologiques définies à l'origine pour les algèbres associatives, mais qui ont été généralisées à des catégories plus générales. Elles ont été introduites par Gerhard Hochschild en 1945. La cohomologie cyclique développée par Alain Connes et Jean-Louis Loday en est une généralisation.
La cohomologie de Hochschild classifie les de la structure multiplicative de l'algèbre considérée, et d'une manière générale l'homologie comme la cohomologie de Hochschild possèdent une riche structure algébrique. Leur étude s'est révélée importante en théorie des cordes notamment.
La construction originelle de Hochschild est la suivante. Soit k un anneau, A une k-algèbre associative et M un A-bimodule. Si en outre A est un k-module projectif, alors on peut construire le complexe de chaînes où signifie n produits tensoriels de A avec lui-même.
Les opérateurs de faces sont les applications définies par :
Elles induisent sur chaque degré un opérateur de bord par:l'opérateur sur tous les degrés vérifiant bien .
Les applications font de chaque module un objet simplicial dans la catégorie des k-modules, c'est-à-dire un foncteur où est la catégorie simpliciale.
L’homologie de Hochschild est l'homologie de ce module simplicial. De manière équivalente, c'est l'homologie du complexe de Hochschild :
La cohomologie de Hochschild s'obtient par une construction analogue. C'est en particulier une algèbre de Gerstenhaber, ce qui motive la conjecture de Deligne.
En degré zéro, on a les expressions simples suivantes :
où [A, M] désigne le k-sous-module de M engendré par am - ma pour tous les couples d'éléments de A et de M.
La définition précédente se généralise en remarquant que l'algèbre enveloppante de A est le produit tensoriel
Ainsi, les bimodules de A s'identifient aux modules sur l'algèbre enveloppante, de sorte qu'en particulier A et M sont des -modules.
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