Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur GraphSearch.
Concept
Loi de Student
Résumé
En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Student est une loi de probabilité, faisant intervenir le quotient entre une variable suivant une loi normale centrée réduite et la racine carrée d'une variable distribuée suivant la loi du χ.
Elle est notamment utilisée pour les tests de Student, la construction d'intervalle de confiance et en inférence bayésienne.
Soit Z une variable aléatoire de loi normale centrée et réduite et soit U une variable indépendante de Z et distribuée suivant la loi du χ à k degrés de liberté. Par définition, la variable
suit une loi de Student à k degrés de liberté.
alors , où les X sont k variables aléatoires réelles i.i.d. de loi normale centrée-réduite.
La densité de T, notée f, est donnée par :
où Γ est la fonction Gamma d'Euler.
La densité f associée à la variable T est symétrique, centrée en 0 et en forme de cloche.
Son espérance ne peut pas être définie pour k = 1, et est nulle pour k > 1.
Sa variance est infinie pour k = 2 et vaut k/k – 2 pour k > 2.
Lorsque k est grand, la loi de Student peut être approchée par la loi normale centrée réduite. Une manière simple de le démontrer est d'utiliser le lemme de Scheffé.
Le calcul de la loi de Student a été décrit en 1908 par William Gosset alors qu'il était employé à la brasserie Guinness à Dublin. Son patron, sans doute pour des raisons liées à la concurrence, interdisait à ses employés de publier sous leur propre nom. Pour cette raison Gosset choisit un pseudonyme, Student, qui, en anglais, signifie étudiant. Le test t et la théorie sont devenus célèbres par les travaux de Ronald Fisher qui a donné à la loi le nom de « loi de Student ».
Soient X, ..., X, n variables aléatoires mutuellement indépendantes et distribuées suivant une même loi normale d’espérance μ et de variance σ qui correspondent à un échantillon de taille n. Considérons la moyenne empirique
et l'estimateur sans biais de la variance
Par normalisation, la variable aléatoire
suit une loi normale standard (d’espérance 0 et de variance 1).
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.
Concepts associés (91)
Loi de Student
En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Student est une loi de probabilité, faisant intervenir le quotient entre une variable suivant une loi normale centrée réduite et la racine carrée d'une variable distribuée suivant la loi du χ. Elle est notamment utilisée pour les tests de Student, la construction d'intervalle de confiance et en inférence bayésienne. Soit Z une variable aléatoire de loi normale centrée et réduite et soit U une variable indépendante de Z et distribuée suivant la loi du χ à k degrés de liberté.
Loi du χ²
En statistiques et en théorie des probabilités, la loi du centrée (prononcé « khi carré » ou « khi-deux ») avec k degrés de liberté est la loi de la somme de carrés de k lois normales centrées réduites indépendantes. La loi du est utilisée en inférence statistique et pour les tests statistiques notamment le test du χ2. La loi du χ2 non centrée généralise la loi du . Soient k variables aléatoires X, ... , X indépendantes suivant la loi normale centrée et réduite, c'est-à-dire la loi normale de moyenne 0 et d'écart-type 1.
Loi log-normale
En théorie des probabilités et statistique, une variable aléatoire X est dite suivre une loi log-normale de paramètres et si la variable suit une loi normale d'espérance et de variance . Cette loi est parfois appelée loi de Galton. Elle est habituellement notée dans le cas d'une seule variable ou dans un contexte multidimensionnel. Une variable peut être modélisée par une loi log-normale si elle est le résultat de la multiplication d'un grand nombre de petits facteurs indépendants.
Cours associés (44)
FIN-417: Quantitative risk management
This course is an introduction to quantitative risk management that covers standard statistical methods, multivariate risk factor models, non-linear dependence structures (copula models), as well as p
ENG-267: Estimation methods
Les étudiants traitent des observations entachées d'incertitude de manière rigoureuse. Ils maîtrisent les principales méthodes de compensation des mesures et d'estimation des paramètres. Ils appliquen
MICRO-110: Design of experiments
This course provides an introduction to experimental statistics, including use of population statistics to characterize experimental results, use of comparison statistics and hypothesis testing to eva
Séances de cours associées (351)
Assistant physique: Coordination de l'électromagnétisme
Couvre la coordination de l'assistant de physique pour le cours d'électromagnétisme.
Analyse des données génomiques : identification des gènes exprimés différemment
Discuter des méthodes d'identification des gènes exprimés différemment dans l'analyse des données génomiques.
Master en structure de génie mécanique
Explique la structure du programme de maîtrise en génie mécanique, y compris les options de projet de maîtrise et de stage.
MOOCs associés (2)
Advanced statistical physics
We explore statistical physics in both classical and open quantum systems. Additionally, we will cover probabilistic data analysis that is extremely useful in many applications.
Advanced statistical physics
We explore statistical physics in both classical and open quantum systems. Additionally, we will cover probabilistic data analysis that is extremely useful in many applications.