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Concept
Loi de Student
Résumé
En théorie des probabilités et en statistique, la loi de Student est une loi de probabilité, faisant intervenir le quotient entre une variable suivant une loi normale centrée réduite et la racine carrée d'une variable distribuée suivant la loi du χ.
Elle est notamment utilisée pour les tests de Student, la construction d'intervalle de confiance et en inférence bayésienne.
Soit Z une variable aléatoire de loi normale centrée et réduite et soit U une variable indépendante de Z et distribuée suivant la loi du χ à k degrés de liberté. Par définition, la variable
suit une loi de Student à k degrés de liberté.
alors , où les X sont k variables aléatoires réelles i.i.d. de loi normale centrée-réduite.
La densité de T, notée f, est donnée par :
où Γ est la fonction Gamma d'Euler.
La densité f associée à la variable T est symétrique, centrée en 0 et en forme de cloche.
Son espérance ne peut pas être définie pour k = 1, et est nulle pour k > 1.
Sa variance est infinie pour k = 2 et vaut k/k – 2 pour k > 2.
Lorsque k est grand, la loi de Student peut être approchée par la loi normale centrée réduite. Une manière simple de le démontrer est d'utiliser le lemme de Scheffé.
Le calcul de la loi de Student a été décrit en 1908 par William Gosset alors qu'il était employé à la brasserie Guinness à Dublin. Son patron, sans doute pour des raisons liées à la concurrence, interdisait à ses employés de publier sous leur propre nom. Pour cette raison Gosset choisit un pseudonyme, Student, qui, en anglais, signifie étudiant. Le test t et la théorie sont devenus célèbres par les travaux de Ronald Fisher qui a donné à la loi le nom de « loi de Student ».
Soient X, ..., X, n variables aléatoires mutuellement indépendantes et distribuées suivant une même loi normale d’espérance μ et de variance σ qui correspondent à un échantillon de taille n. Considérons la moyenne empirique
et l'estimateur sans biais de la variance
Par normalisation, la variable aléatoire
suit une loi normale standard (d’espérance 0 et de variance 1).
Source officielle
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