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Concept
Loi du χ²
Résumé
En statistiques et en théorie des probabilités, la loi du centrée (prononcé « khi carré » ou « khi-deux ») avec k degrés de liberté est la loi de la somme de carrés de k lois normales centrées réduites indépendantes.
La loi du est utilisée en inférence statistique et pour les tests statistiques notamment le test du χ2.
La loi du χ2 non centrée généralise la loi du .
Soient k variables aléatoires X, ... , X indépendantes suivant la loi normale centrée et réduite, c'est-à-dire la loi normale de moyenne 0 et d'écart-type 1. Alors par définition la variable X définie par
suit une loi du χ à k degrés de liberté. La loi de X est notée χ (k) ou χ .
La densité de probabilité de X notée f est :
pour tout x positif
où Γ est la fonction gamma.
Sa fonction de répartition est :
où est la fonction gamma incomplète.
Conformément au théorème central limite, lorsque k est « grand » (k > 100), la loi d'une variable de χ, somme de variables aléatoires indépendantes, peut être approchée par une loi normale d'espérance k et de variance 2k.
D'autres fonctions en χ peuvent converger plus rapidement vers la loi normale, notamment en ayant X ~ χ(k) et k > 30 :
– peut être approchée par une loi normale centrée réduite (approximation de Ronald Aylmer Fisher).
peut être approchée par une loi normale de moyenne 1 – 2/9k et de variance 2/9k (approximation de Wilson et Hilferty, 1931).
peut être approchée par (approximation de Hoaglin).
Cette loi est principalement utilisée dans le test du χ basé sur la loi multinomiale pour vérifier l'adéquation d'une distribution empirique à une loi de probabilité donnée. Plus généralement elle s'applique dans le test d'hypothèses à certains seuils (indépendance notamment).
Elle est également utilisée pour établir des intervalles de confiance concernant la variance ou l'écart-type de variables aléatoires gaussiennes.
Cette loi a été décrite pour la première fois par le géodésiste et statisticien allemand Friedrich Robert Helmert dans des articles de 1875–6, où il a calculé la distribution d'échantillonnage de la variance de l'échantillon d'une population normale.
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