Caractéristique d'un anneau

En algèbre, la caractéristique d'un anneau (unitaire) A est par définition l'ordre pour la loi additive de l'élément neutre de la loi multiplicative si cet ordre est fini ; si cet ordre est infini, la caractéristique de l'anneau est par définition zéro. On note, pour un anneau unitaire (A, +, ×), 0A l'élément neutre de « + » et 1A celui de « × ». La caractéristique d'un anneau A est donc le plus petit entier n > 0 tel que si un tel entier existe. Dans le cas contraire (autrement dit si 1A est d'ordre infini), la caractéristique est nulle. Le sous-anneau de A engendré par 1, appelé le sous-anneau premier de A, est isomorphe à Z/cZ, où c est la caractéristique de A. Lorsque l'anneau A est intègre et de caractéristique non nulle, cette caractéristique est un nombre premier et ce sous-anneau premier est un corps fini, appelé le sous-corps premier de A. Remarque 1 : La présente définition est conforme à des ouvrages publiés au . Bourbaki dit explicitement ne définir la caractéristique d'un anneau que si cet anneau contient un corps. Lang considère l'idéal de Z formé par les n tels que n.1A = 0 ; si cet idéal est premier, c'est-à-dire de la forme cZ où c est zéro ou un nombre premier, il définit la caractéristique de A comme étant le nombre c. Il ne la définit pas dans le cas contraire. Remarque 2 : Certains auteurs n'exigent pas la présence d'un élément unitaire dans la définition d'un anneau (voir l'article détaillé), une structure souvent appelée pseudo-anneau. Dans ce cas, la définition précédente doit être remplacée par la suivante, plus générale. La caractéristique de A est le plus petit entier n, s'il existe, tel que, pour tout élément a de A, Si un tel n n'existe pas, la caractéristique est 0. Il existe un unique morphisme d'anneaux unitaires de Z dans A (Z est en effet un objet initial de la catégorie des anneaux). Par définition, si n est un entier strictement positif, on a : où 1A est répété n fois. Comme Z est un anneau euclidien, le noyau de est un idéal principal et, par définition, la caractéristique de A est son générateur positif.