En mathématiques, un univers de Grothendieck est un ensemble U ayant les propriétés suivantes :
si x appartient à U et si y appartient à x, alors y appartient à U (on dit que U est un ensemble transitif) ;
si x et y appartiennent à U alors {x, y} aussi ;
si x appartient à U, alors l'ensemble P(x) des parties de x aussi ;
si (x) est une famille d'éléments de U et si I appartient à U, alors l'union ⋃ x appartient à U.
Alexandre Grothendieck a introduit et utilisé cette idée pour éviter les classes propres en géométrie algébrique.
Les univers de Grothendieck non dénombrables fournissent des modèles de la théorie des ensembles. Dans ZFC, leur existence n'est pas démontrable, puisqu'elle équivaut à l'existence de cardinaux (fortement) inaccessibles non dénombrables.
La est une extension propre de ZFC dans laquelle tout ensemble appartient à au moins un univers de Grothendieck.
Le concept d'univers de Grothendieck peut aussi être défini dans un topos.
Toute intersection non vide d'univers est un univers.
L'intersection V des univers non vides est un ensemble dénombrable d'ensembles finis arbitrairement grands : les , définis récursivement en extension à partir de ∅, comme ∅, {∅} ou
Si U est un univers de Grothendieck, alors :
toute partie d'un élément de U appartient à U ;
les produits finis et les réunions finies d'éléments de U appartiennent à U ;
si (x) est une famille d'éléments de U et si I appartient à U, alors le produit ∏ x et l'union disjointe ∐ x appartiennent à U ;
si x est une partie de U dont le cardinal est majoré par celui d'un élément de U, alors x appartient à U ;
le cardinal |x| de tout élément x de U est strictement inférieur à |U|.
Un cardinal infini c est dit (fortement) inaccessible si c'est un cardinal limite (au sens fort : pour tout cardinal κ < c, 2 < c) et régulier.
Dans ZFC, les deux propositions indécidables suivantes sont équivalentes :
(U) Tout ensemble appartient à au moins un univers de Grothendieck.
(C) Tout cardinal est strictement majoré par au moins un cardinal inaccessible.
(U) ⇒ (C).
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Introduit les concepts fondamentaux de la théorie des probabilités, y compris l'espace échantillonné, l'espace événementiel et les lois sur les probabilités.
En mathématiques, plus précisément en théorie des ensembles, un ensemble transitif est un ensemble dont tous les éléments sont aussi des parties de l'ensemble. Un ensemble X est dit transitif si tout élément y d’un élément x de X est lui-même élément de X c'est-à-dire si tout élément x de X est un sous-ensemble de X (en notant « ⊂ » l'inclusion au sens large) : ∀ x (x ∈ X ⇒ x ⊂ X) ce qui revient à (en notant ∪X l'union des éléments de X) : ∪X ⊂ X.
En théorie des ensembles, une des branches des mathématiques, l'univers de von Neumann, ou hiérarchie cumulative de von Neumann, est la classe notée V d'ensembles « héréditaires », tels que la relation d'appartenance sur ces ensembles soit bien fondée. Cette classe, qui est formalisée par la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel (ZFC), est souvent utilisée pour fournir une interprétation ou une motivation des axiomes de ZFC. Ce concept est nommé d'après John von Neumann, bien qu'il ait été publié pour la première fois par Ernst Zermelo en 1930.
En mathématiques, et en particulier en théorie des ensembles et en logique mathématique, un univers est un ensemble (ou parfois une classe propre) ayant comme éléments tous les objets qu'on souhaite considérer dans un contexte donné. Structure (mathématiques) Dans de nombreuses utilisations élémentaires de la théorie des ensembles, on se place en réalité dans un ensemble général U (appelé parfois univers de référence), et les seuls ensembles considérés sont les éléments et les sous-ensembles de U ; c'est ce point de vue qui a amené Cantor à développer sa théorie en partant de U = R, l'ensemble des nombres réels.
K-Theory was originally defined by Grothendieck as a contravariant functor from a subcategory of schemes to abelian groups, known today as K0. The same kind of construction was then applied to other fields of mathematics, like spaces and (not necessarily c ...