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Concept
Endomorphisme de Frobenius
Résumé
En mathématiques, l'endomorphisme de Frobenius, nommé ainsi en l'honneur de Georg Ferdinand Frobenius, est un endomorphisme d'anneau commutatif défini de façon naturelle à partir de la caractéristique.
Il est particulièrement utilisé dans le contexte de la théorie de Galois, soit dans le cas des corps de caractéristique non nulle et plus spécifiquement dans le cas des corps finis et dans la théorie des corps de classes. Si le corps est fini, il s'agit alors d'un automorphisme.
Il est généralement utilisé en théorie algébrique des nombres, par exemple pour la démonstration de la loi de réciprocité quadratique.
Soit A un anneau commutatif unitaire ayant pour caractéristique un nombre premier p > 0. L'endomorphisme de Frobenius est l'application définie par :
Elle est souvent notée FrobA, ou Frob s'il n'y a pas d'ambiguïté.
Un élément de Frobenius est une puissance de l'endomorphisme de Frobenius pour la loi de composition des applications.
L'automorphisme de Frobenius désigne l'endomorphisme de Frobenius s'il est bijectif.
Si l'endomorphisme de Frobenius est bijectif, l'ensemble des éléments de Frobenius forme un sous-groupe cyclique du groupe des bijections de l'anneau — le sous-groupe engendré par l'automorphisme de Frobenius — d'où la définition suivante :
Dans le cas où l'endomorphisme de Frobenius est bijectif, le groupe de Frobenius est l'ensemble des éléments de Frobenius muni de la loi de composition des applications.
L'endomorphisme de Frobenius est un morphisme d'anneaux.
Les deux propriétés multiplicatives sont dues au fait que l'anneau est commutatif (et unifère) :
Pour la propriété additive, on part de la formule du binôme de Newton :
Comme p est premier, il divise tous les coefficients binomiaux à l'exception du premier et du dernier ( Diviseurs et coefficients binomiaux). Cette propriété permet de conclure :
Si l'anneau A est intègre alors l'endomorphisme de Frobenius est injectif.
En effet, si l'anneau est intègre alors il ne contient aucun diviseur de zéro, donc une puissance d'un élément est nulle si et seulement si cet élément est nul.
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