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Concept
Treillis modulaire
Résumé
Dans le cadre mathématique de la théorie des ordres, un treillis modulaire est un treillis qui vérifie la condition auto-duale suivante
Loi de modularité :
implique
Les treillis modulaires apparaissent en algèbre et dans de nombreux autres domaines des mathématiques. Par exemple, les sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel, et plus généralement les sous-modules d'un module sur un anneau, forment un treillis modulaire.
Les treillis modulaires sont parfois appelés treillis de Dedekind, d'après Richard Dedekind, qui a formulé la loi de modularité.
Dans un treillis non modulaire, il peut exister des éléments qui vérifient la loi de modularité pour des éléments quelconques et , pourvu que . Un tel élément est appelé un élément modulaire. Plus généralement, on peut considérer des couples d'éléments qui vérifient la loi de modularité pour tous les éléments . Un tel couple est appelée un couple modulaire, et il existe plusieurs généralisations de la notion de modularité liées à la notion de semi-modularité qui s'appuient sur ce concept.
La loi de modularité peut être vue comme une loi associative restreinte entre les deux opérations d'un treillis, analogue à la loi associative , pour les espaces vectoriels, entre la multiplication dans le corps de base et la multiplication scalaire dans l'espace. La restriction est nécessaire car elle résulte de l'équation
On vérifie facilement que implique dans tout treillis. Par conséquent, la loi de modularité peut également être formulée comme suit :
Loi de modularité (variante)
implique .
Si on remplace par , la loi de modularité peut être formulée comme suit par une équation sans implication :
Loi de modularité (autre variante)
Cela montre (en utilisation la terminologie d'algèbre universelle) que les treillis modulaires forment une sous-variété de la variété des treillis. Par conséquent, toutes les images homomorphes, tous les sous-treillis et produits directs de treillis modulaires sont à nouveau modulaires.
vignette|Diagramme de Hasse de , le plus petit treillis non modulaire.
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