Treillis modulaire

Dans le cadre mathématique de la théorie des ordres, un treillis modulaire est un treillis qui vérifie la condition auto-duale suivante Loi de modularité : implique Les treillis modulaires apparaissent en algèbre et dans de nombreux autres domaines des mathématiques. Par exemple, les sous-espaces vectoriels d'un espace vectoriel, et plus généralement les sous-modules d'un module sur un anneau, forment un treillis modulaire. Les treillis modulaires sont parfois appelés treillis de Dedekind, d'après Richard Dedekind, qui a formulé la loi de modularité. Dans un treillis non modulaire, il peut exister des éléments qui vérifient la loi de modularité pour des éléments quelconques et , pourvu que . Un tel élément est appelé un élément modulaire. Plus généralement, on peut considérer des couples d'éléments qui vérifient la loi de modularité pour tous les éléments . Un tel couple est appelée un couple modulaire, et il existe plusieurs généralisations de la notion de modularité liées à la notion de semi-modularité qui s'appuient sur ce concept. La loi de modularité peut être vue comme une loi associative restreinte entre les deux opérations d'un treillis, analogue à la loi associative , pour les espaces vectoriels, entre la multiplication dans le corps de base et la multiplication scalaire dans l'espace. La restriction est nécessaire car elle résulte de l'équation On vérifie facilement que implique dans tout treillis. Par conséquent, la loi de modularité peut également être formulée comme suit : Loi de modularité (variante) implique . Si on remplace par , la loi de modularité peut être formulée comme suit par une équation sans implication : Loi de modularité (autre variante) Cela montre (en utilisation la terminologie d'algèbre universelle) que les treillis modulaires forment une sous-variété de la variété des treillis. Par conséquent, toutes les images homomorphes, tous les sous-treillis et produits directs de treillis modulaires sont à nouveau modulaires. vignette|Diagramme de Hasse de , le plus petit treillis non modulaire.

Réseaux idéaux sur des corps CM et des corps totalement réels

Ivan Suarez Atias

This thesis deals with the study of ideal lattices over number fields. Let K be a number field, which is assumed to be CM or totally real. An ideal lattice over K is a pair (I,b), where I is a fractional ideal of K and b : I × I → R is a symmetric positive definite bilinear form such that b(x, y) = Tr(αxy) for a totally positive α ∈ K ⊗ R. The ideal lattice defined previously will be denoted by (I,α). In the first part, we will focus on constructing modular lattices over number fields. In particular the case of cyclotomic fields will be treated more carefully. A modular lattice is a lattice which is similar to its dual lattice. H.-G. Quebbemann introduced this notion in 1995 and in 1997, and he also defined a notion of analytic extremality for these lattices. It seemed promising to look for ideal lattices which were modular. This investigation led to the introduction of Arakelov modular lattices. This notion has turned out to be very interesting. If K = Q(ζn ) is a cvclotomic field, then the set of levels ℓ for which there exists an Arakelov modular lattice of level ℓ over Q(ζn ) is explicitly given in this thesis. Moreover, assume that K is a CM field, and that we are given an Arakelov modular lattice (I,α) of level ℓ over K. Under an assumption on K (which is satisfied for cyclotomic fields), we describe a way to compute all the Arakelov modular lattices of level ℓ over K. In the second part of this thesis, a construction is introduced which enables us to associate a totally real field K' to a given CM-field K. This field K' has the following property : if (I,α) is an ideal lattice over K. where I is an ambiguous ideal, then there exists an ideal lattice over K' isometric (as a lattice) to (I,α). This leads to the construction of several classic lattices over totally real fields. It also enables us to bound the Euclidean minimum of the field K' with respect to that of the field K.

EPFL2005

Réseaux idéaux sur des corps CM et des corps totalement réels

Ivan Suarez Atias

EPFL2005

Réseaux idéaux sur des corps CM et des corps totalement réels

Modular lattices over cyclotomic fields

Réseaux idéaux sur des corps CM et des corps totalement réels

Modular lattices over cyclotomic fields