Théorème de l'axe principal

Dans les domaines mathématiques de la géométrie et de l'algèbre linéaire, un axe principal est une certaine ligne dans un espace euclidien associée à un ellipsoïde ou à un hyperboloïde, généralisant les axes majeur et mineur d'une ellipse ou d'une hyperbole. Le théorème de l'axe principal indique que les axes principaux sont perpendiculaires et donne une procédure pour les trouver. Mathématiquement, le théorème de l'axe principal est une généralisation de la méthode de complétion du carré à partir de l'algèbre élémentaire. En algèbre linéaire et en analyse fonctionnelle, le théorème de l'axe principal est une contrepartie géométrique du théorème spectral. Il a des applications en statistiques en analyse en composantes principales ainsi qu'en décomposition en valeurs singulières. En physique, le théorème est fondamental pour l'étude du moment cinétique. Les équations dans le plan cartésien définissent, respectivement, une ellipse et une hyperbole. Dans chaque cas, les axes x et y sont les axes principaux. Cela est facilement visible, étant donné qu'il n'y a pas de termes croisés, c'est-à-dire des produits de type xy, dans l'une ou l'autre des expressions. Cependant, la situation est plus compliquée pour des équations comme Ici, une méthode est nécessaire pour déterminer s'il s'agit d'une ellipse ou d'une hyperbole. L'observation de base est que, si, en complétant le carré, l'expression quadratique peut être réduite à une somme de deux carrés, alors l'équation définit une ellipse. A contrario, si elle se réduit à une différence de deux carrés, alors l'équation représente une hyperbole : Ainsi, dans l'exemple ci-dessus, le problème est de savoir comment absorber le coefficient du terme croisé () dans les fonctions u et v. Formellement, ce problème est similaire au problème de la diagonalisation, où l'on essaie de trouver un système de coordonnées approprié dans lequel la matrice d'une application linéaire est diagonale. La première étape consiste à trouver une matrice dans laquelle la technique de diagonalisation peut être appliquée.