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Concept
Théorème fondamental de l'arithmétique
Résumé
En mathématiques, et en particulier en arithmétique élémentaire, le théorème fondamental de l'arithmétique ou théorème de décomposition en produit de facteurs premiers s'énonce ainsi : tout entier strictement positif peut être écrit comme un produit de nombres premiers d'une unique façon, à l'ordre près des facteurs.
Par exemple, nous pouvons écrire que : = 2 × 3 × 17 ou encore = 2 × 3 × 5 et il n'existe aucune autre factorisation de ou sous forme de produits de nombres premiers, excepté par réarrangement des facteurs ci-dessus.
Le nombre 1 est le produit de zéro nombre premier (voir produit vide), de sorte que le théorème est aussi vrai pour 1.
Ce résultat se généralise à d'autres ensembles : les anneaux factoriels, comme celui des polynômes à coefficients dans les nombres réels ou complexes (cf. « Arithmétique des polynômes »).
Dans le livre VII de ses Éléments, Euclide énonce une proposition plus faible, suffisante pour certaines applications : tout nombre non premier est divisible par un nombre premier. Mais dès son époque, la décomposition d'un nombre en facteurs premiers est connue et utilisée couramment. Si le théorème n'est pas énoncé dans toute sa généralité c'est essentiellement parce que le formalisme de l'époque, dépourvu entre autres des puissances, ne permettait pas de l'exprimer simplement.
thumb|upright|Carl Friedrich Gauss.
En 1801 dans son livre Disquisitiones arithmeticae, Carl Friedrich Gauss développe des arithmétiques sur d'autres structures. L'existence d'une factorisation est étendue aux entiers relatifs, aux polynômes à coefficients dans un corps commutatif ainsi qu'à un nouvel anneau d'entiers algébriques, les entiers de Gauss. La notion de nombre premier est alors étendue. Elle s'applique de la même manière pour les polynômes irréductibles ou les nombres premiers de Gauss. Dans tous ces cas, la décomposition est complétée par un facteur correspondant à un élément inversible : dans le cas des entiers relatifs, le facteur est égal à +1 si le nombre est positif et à –1 s'il est négatif.
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