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Concept
Anneau euclidien
Résumé
vignette|Statue d'Euclide à Oxford.
En mathématiques et plus précisément en algèbre, dans le cadre de la théorie des anneaux, un anneau euclidien est un type particulier d'anneau commutatif intègre (voir aussi l'article anneau euclidien non commutatif).
Un anneau est dit euclidien s'il est possible d'y définir une division euclidienne.
Un anneau euclidien est toujours principal. Cette propriété est riche de conséquences : tout anneau principal vérifie l'identité de Bézout, le lemme d'Euclide, il est factoriel et satisfait les conditions du théorème fondamental de l'arithmétique. On retrouve ainsi tous les résultats de l'arithmétique élémentaire et plus spécifiquement de l'arithmétique modulaire, mais dans un cadre plus général.
L'anneau euclidien le plus classique est celui des entiers relatifs, mais on trouve aussi celui des entiers de Gauss ou certains autres anneaux d'entiers quadratiques. L'anneau des polynômes à coefficients dans les nombres réels ou complexes, et plus généralement dans n'importe quel corps commutatif est aussi euclidien, donnant ainsi naissance à une arithmétique des polynômes.
vignette|Couverture de la première édition anglaise des Éléments par Henry Billingsley, 1570.
La première référence ayant influencé le monde mathématique sur la question de la division euclidienne est le livre VII, des Éléments d'Euclide datant d'environ 300 ans On y trouve la première définition théorique de la division et l'étude de ses conséquences. Cette branche des mathématiques prend le nom d'Arithmétique. Elle traite essentiellement des questions portant sur les nombres entiers.
Certains mathématiciens comme Diophante d'Alexandrie puis, bien plus tard, Pierre de Fermat comprennent la richesse de cette branche des mathématiques. Ils établissent quelques résultats comme le petit théorème de Fermat et formulent des conjectures comme le théorème des deux carrés de Fermat ou le grand théorème de Fermat. Un outil théorique important est l'analyse des propriétés du reste de la division euclidienne des membres d'une égalité d'entiers.
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