Fraction continue de Gauss | EPFL Graph Search

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En analyse complexe, une fraction continue de Gauss est un cas particulier de fraction continue dérivé des fonctions hypergéométriques. Ce fut l'un des premiers exemples de fractions continues analytiques. Elles permettent de représenter des fonctions élémentaires importantes, ainsi que des fonctions spéciales transcendantes plus compliquées. Lambert a publié quelques exemples de fractions continues généralisées de cette forme en 1768, démontrant entre autres l'irrationalité de π ( § « Applications à F » ci-dessous). Euler et Lagrange ont exploré des constructions similaires, mais c'est Gauss qui utilisa l'astuce algébrique décrite dans la section suivante pour donner la forme générale de cette fraction continue, en 1813. Il ne démontra cependant pas ses propriétés de convergence. Bernhard Riemann et Ludwig Wilhelm Thomé obtinrent des résultats partiels, mais ce n'est qu'en 1901 qu'Edward Burr Van Vleck précisa le domaine de convergence. Soit (f) une suite de fonctions analytiques telle que pour tout i > 0, où les k sont des constantes. Alors, en posant donc (en notation de Pringsheim) et en répétant indéfiniment cette transformation : Dans la fraction continue de Gauss, les fonctions f sont des fonctions hypergéométriques de la forme F, F et F, et les équations f – f = k z f proviennent d'identités entre ces fonctions, dans lesquelles les paramètres diffèrent par des quantités entières. Ces identités peuvent se démontrer de diverses manières, par exemple en développant les séries et en comparant les coefficients, ou en calculant la dérivée de plusieurs façons et en l'éliminant des équations produites. Le cas le plus simple concerne la fonction D'après l'identité on peut prendre ce qui donne ou encore, par conversion : Ce développement converge vers la fonction méromorphe définie par le quotient des deux séries convergentes (sous réserve, bien sûr, que a ne soit pas un entier négatif ou nul). Le cas suivant concerne la fonction hypergéométrique confluente de Kummer pour laquelle on utilise alternativement les deux identités En posant etc.

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Fraction continue généralisée

En mathématiques, une fraction continue généralisée est une expression de la forme : comportant un nombre fini ou infini d'étages. C'est donc une généralisation des fractions continues simples puisque dans ces dernières, tous les a sont égaux à 1. Une fraction continue généralisée est une généralisation des fractions continues où les numérateurs et dénominateurs partiels peuvent être des complexes quelconques : où an (n > 0) sont les numérateurs partiels et les bn les dénominateurs partiels.

Fonction d'erreur

thumb|right|upright=1.4|Construction de la fonction d'erreur réelle. En mathématiques, la fonction d'erreur (aussi appelée fonction d'erreur de Gauss) est une fonction entière utilisée en analyse. Cette fonction se note erf et fait partie des fonctions spéciales. Elle est définie par : La fonction erf intervient régulièrement dans le domaine des probabilités et statistiques, ainsi que dans les problèmes de diffusion (de la chaleur ou de la matière).

Generalized hypergeometric function

In mathematics, a generalized hypergeometric series is a power series in which the ratio of successive coefficients indexed by n is a rational function of n. The series, if convergent, defines a generalized hypergeometric function, which may then be defined over a wider domain of the argument by analytic continuation. The generalized hypergeometric series is sometimes just called the hypergeometric series, though this term also sometimes just refers to the Gaussian hypergeometric series.

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