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Concept
Fraction continue de Gauss
Résumé
En analyse complexe, une fraction continue de Gauss est un cas particulier de fraction continue dérivé des fonctions hypergéométriques. Ce fut l'un des premiers exemples de fractions continues analytiques. Elles permettent de représenter des fonctions élémentaires importantes, ainsi que des fonctions spéciales transcendantes plus compliquées.
Lambert a publié quelques exemples de fractions continues généralisées de cette forme en 1768, démontrant entre autres l'irrationalité de π ( § « Applications à F » ci-dessous). Euler et Lagrange ont exploré des constructions similaires, mais c'est Gauss qui utilisa l'astuce algébrique décrite dans la section suivante pour donner la forme générale de cette fraction continue, en 1813.
Il ne démontra cependant pas ses propriétés de convergence. Bernhard Riemann et Ludwig Wilhelm Thomé obtinrent des résultats partiels, mais ce n'est qu'en 1901 qu'Edward Burr Van Vleck précisa le domaine de convergence.
Soit (f) une suite de fonctions analytiques telle que pour tout i > 0,
où les k sont des constantes. Alors, en posant
donc (en notation de Pringsheim)
et en répétant indéfiniment cette transformation :
Dans la fraction continue de Gauss, les fonctions f sont des fonctions hypergéométriques de la forme F, F et F, et les équations f – f = k z f proviennent d'identités entre ces fonctions, dans lesquelles les paramètres diffèrent par des quantités entières. Ces identités peuvent se démontrer de diverses manières, par exemple en développant les séries et en comparant les coefficients, ou en calculant la dérivée de plusieurs façons et en l'éliminant des équations produites.
Le cas le plus simple concerne la fonction
D'après l'identité
on peut prendre
ce qui donne
ou encore, par conversion :
Ce développement converge vers la fonction méromorphe définie par le quotient des deux séries convergentes (sous réserve, bien sûr, que a ne soit pas un entier négatif ou nul).
Le cas suivant concerne la fonction hypergéométrique confluente de Kummer
pour laquelle on utilise alternativement les deux identités
En posant
etc.
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