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Concept
Base duale
Résumé
En algèbre linéaire, la base duale est une base de l'espace dual E* d'un espace vectoriel E de dimension finie, construite à partir d'une base de E. Il est rappelé que E* est l'espace des formes linéaires sur E. La réduction des formes quadratiques est un exemple dans lequel les bases duales peuvent intervenir. Elles interviennent aussi pour transporter des structures géométriques d'un espace vectoriel réel ou complexe sur son espace dual, ce qui intervient notamment en géométrie différentielle.
Soit E un espace vectoriel de dimension finie n sur un corps K. Soit B = (e, ... , e) une base de E, c'est-à-dire que tout vecteur v de E s'écrit de manière unique comme une combinaison linéaire des vecteurs e :
où est un scalaire (un élément du corps K). L'application est une forme linéaire sur E. L'application peut aussi être définie comme l'unique forme linéaire sur E vérifiant, pour tout entier j entre 1 et n, où est le symbole de Kronecker (qui vaut 1 ou 0 suivant que i et j sont égaux ou non).
De plus, toute forme linéaire u sur E s'écrit :
(1)
Cette construction suffit à montrer qu'un espace vectoriel de dimension finie et son dual ont la même dimension.
Il existe une injection canonique ι de E dans son bidual E** (le dual du dual de E), donnée par l'évaluation des formes linéaires en les vecteurs :
Comme E, E* et E** ont même dimension finie, cette application linéaire injective est un isomorphisme. Une autre manière de prouver sa surjectivité est la suivante. Soit (e**, ... , e**) la base duale de (e*, ... , e*). L'équation (1) se traduit par :
On parle aussi d'injection naturelle, à la suite de l'article fondateur de la théorie des catégories de Samuel Eilenberg et Saunders MacLane : les auteurs partent en effet du constat qu'il existe certes un isomorphisme entre un espace vectoriel et son espace dual, mais que cet isomorphisme ne peut être formulé indépendamment de la base particulière que l'on choisit ; tandis qu'il existe, d'un espace vectoriel dans son bidual, une injection linéaire « naturelle », dans le sens où elle est indépendante de la base adoptée.
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