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Concept
Ligne polygonale
Résumé
vignette|Ligne brisée
En mathématiques, une ligne polygonale ou une ligne brisée est une figure géométrique formée d’une suite de segments de droites reliant une suite de points. Une ligne brisée fermée constitue un polygone.
En jargon informatique, notamment géomatique, une ligne polygonale est par apocope couramment nommée polyligne. Elle peut alors être formée de segments de droites ou de segments de courbes.
Soient A, A, A, ... , A, n points (n ≥ 2) du plan affine euclidien usuel, ou d'un espace affine plus général.
On appelle alors ligne polygonale la figure notée AAA...A et constituée par la suite des n – 1 segments [AA], [AA], ... , [AA]. Les points A sont appelés les sommets successifs de la ligne polygonale. De même, Les segments [AA] sont les segments successifs de la ligne polygonale. Le point A est nommé sommet commun des deux segments successifs [AA] et [AA].
vignette|Polygone
La ligne polygonale est dite « fermée » si A = A ; on parle alors de polygone. Elle est dite « simple » si les segments ne se coupent pas, c'est-à-dire lorsque l'intersection de deux segments distincts appartenant à la ligne polygonale est soit vide, soit réduite à leur sommet commun dans le cas de deux segments successifs.
Une ligne polygonale est une spline uniforme de degré 1. On peut considérer une telle ligne dans un espace de dimension autre que 2.
Avec les notations précédentes, si l'espace est muni d'une norme, on peut définir la longueur de la ligne polygonale par
Par application de l'inégalité triangulaire, cette longueur est soit égale soit supérieure à la distance AA.
Dans un espace euclidien, l'inégalité triangulaire (qui n'est autre que l'inégalité de Minkowski) ne devient égalité que quand les points sont tous alignés, et même rangés dans l'ordre des indices sur une même droite. Dans ce cas, parcourir la ligne polygonale revient à aller en ligne droite de A à A.
Dans un espace vectoriel normé général, la ligne droite est bien un plus court chemin, mais a priori parmi plusieurs autres.
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