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Concept
Symétrie centrale
Résumé
thumb|upright=0.7|Symétrie centrale plane dans une carte à jouer : sur la carte figure le roi de cœur et son symétrique par rapport au centre de cette dernière.
En géométrie, une symétrie centrale est une transformation d'un espace affine.
Elle se réalise à partir d'un point fixe noté Ω appelé centre de symétrie. Elle transforme tout point M en un point M' tel que le point Ω soit le milieu du segment [MM'].
En termes de vecteurs, cela se traduit par :
Comme toute symétrie, c'est une involution, c'est-à-dire qu'on retrouve le point ou la figure de départ si on l'applique deux fois. En particulier, c'est une bijection.
Dans le plan euclidien, les symétries centrales sont les rotations d'un demi-tour.
La symétrie centrale est une application affine ; elle conserve :
les alignements (les symétriques de trois points alignés sont alignés),
le parallélisme (les symétriques de deux droites parallèles sont parallèles).
Elle transforme même toute droite en une droite qui lui est parallèle, puisque c'est une homothétie (de rapport –1).
Lorsque l'espace affine est muni d'une structure euclidienne, c'est même une isométrie affine (un déplacement si la dimension de l'espace est paire et un antidéplacement si elle est impaire) ; elle conserve :
les distances,
les angles géométriques (le symétrique d'un angle est un angle de même mesure) et même, dans le plan, les angles orientés,
les périmètres (la symétrique d'une figure est une figure de même périmètre),
les aires (la symétrique d'une figure est une figure de même aire).
Par rapport à un point Ω,
le symétrique de Ω est Ω ;
le symétrique d'un segment est un segment ;
le symétrique d'un arc de courbe est un arc de même longueur ;
la symétrique d'une droite d est une droite parallèle à d ;
le symétrique d'un cercle de centre O est le cercle de même rayon et de centre le symétrique de O.
Dans le plan euclidien, la symétrie de centre Ω est la rotation de centre Ω et d'angle π.
Dans le plan complexe, soit ω l'affixe de Ω et z l'affixe de M
[[Rotation plane#Expression complexe|L'affixe z' de M est]]
Placer le point Ω et le point M distinct de Ω.
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