Antirotation | EPFL Graph Search

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In geometry, an improper rotation (also called rotation-reflection, rotoreflection, rotary reflection, or rotoinversion) is an isometry in Euclidean space that is a combination of a rotation about an axis and a reflection in a plane perpendicular to that axis. Reflection and inversion are each special case of improper rotation. Any improper rotation is an affine transformation and, in cases that keep the coordinate origin fixed, a linear transformation. It is used as a symmetry operation in the context of geometric symmetry, molecular symmetry and crystallography, where an object that is unchanged by a combination of rotation and reflection is said to have improper rotation symmetry. In 3 dimensions, improper rotation is equivalently defined as a combination of rotation about an axis and inversion in a point on the axis. For this reason it is also called a rotoinversion or rotary inversion. The two definitions are equivalent because rotation by an angle θ followed by reflection is the same transformation as rotation by θ + 180° followed by inversion (taking the point of inversion to be in the plane of reflection). In both definitions, the operations commute. A three-dimensional symmetry that has only one fixed point is necessarily an improper rotation. An improper rotation of an object thus produces a rotation of its . The axis is called the rotation-reflection axis. This is called an n-fold improper rotation if the angle of rotation, before or after reflexion, is 360°/n (where n must be even). There are several different systems for naming individual improper rotations: In the Schoenflies notation the symbol Sn (German, Spiegel, for mirror), where n must be even, denotes the symmetry group generated by an n-fold improper rotation. For example, the symmetry operation S6 is the combination of a rotation of (360°/6)=60° and a mirror plane reflection. (This should not to be confused with the same notation for symmetric groups). In Hermann–Mauguin notation the symbol is used for an n-fold rotoinversion; i.e.

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Antirotation

En géométrie, une antirotation est un type particulier d'antidéplacement ( d'isométrie qui renverse l'orientation) de l'espace euclidien de dimension 3 (espace affine euclidien ou espace vectoriel euclidien, suivant le contexte) : c'est la composée de deux transformations qui commutent : une rotation d'angle autour d'un axe et d'une réflexion par rapport à un plan perpendiculaire à cet axe, ce qui lui vaut aussi le nom de roto-réflexion, ou rotation-réflexion.

Rotation vectorielle

Soit E un espace vectoriel euclidien. Une rotation vectorielle de E est un élément du groupe spécial orthogonal SO(E). Si on choisit une base orthonormée de E, sa matrice dans cette base est orthogonale directe. Matrice de rotation Dans le plan vectoriel euclidien orienté, une rotation vectorielle est simplement définie par son angle . Sa matrice dans une base orthonormée directe est : Autrement dit, un vecteur de composantes a pour image le vecteur de composantes que l'on peut calculer avec l'égalité matricielle : c'est-à-dire que l'on a : et Si par exemple et , désigne un des angles du triangle rectangle de côtés 3, 4 et 5.

Symétrie centrale

thumb|upright=0.7|Symétrie centrale plane dans une carte à jouer : sur la carte figure le roi de cœur et son symétrique par rapport au centre de cette dernière. En géométrie, une symétrie centrale est une transformation d'un espace affine. Elle se réalise à partir d'un point fixe noté Ω appelé centre de symétrie. Elle transforme tout point M en un point M' tel que le point Ω soit le milieu du segment [MM']. En termes de vecteurs, cela se traduit par : Comme toute symétrie, c'est une involution, c'est-à-dire qu'on retrouve le point ou la figure de départ si on l'applique deux fois.

MATH-124: Geometry for architects I

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