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Symétrie
Résumé
La symétrie est une propriété d'un système : c'est lorsque deux parties sont semblables. L'exemple le plus connu est la symétrie en géométrie.
De manière générale, un système est symétrique quand on peut permuter ses éléments en laissant sa forme inchangée. Le concept d'automorphisme permet de préciser cette définition.
Un papillon, par exemple, est symétrique parce qu'on peut permuter tous les points de la moitié gauche de son corps avec tous les points de la moitié droite sans que son apparence soit modifiée. On peut échanger les deux moitiés sans changer la forme de l'ensemble. Les figures symétriques rendent visible l'égalité des formes parce que les parties permutables ont toujours la même forme. On pourrait en faire une définition du concept : une figure est symétrique lorsqu'elle répète une même forme de façon régulière.
Le concept de forme est défini en mathématiques à partir de celui d'isomorphisme. Deux systèmes isomorphes ont la même forme.
Un système, une structure mathématique, un modèle, un univers, ou un monde, au sens mathématique, est déterminé avec plusieurs ensembles :
l’ensemble U des éléments du système, ses points, ses atomes ou ses constituants élémentaires ;
l’ensemble des prédicats fondamentaux, propriétés de base des éléments et relations entre eux ;
l’ensemble des opérateurs, ou fonctions, qui déterminent davantage la structure du système.
Souvent par abus de langage, on identifie une structure par l'ensemble U de ses éléments.
Soient U et U deux structures définies par les relations binaires R et R respectivement. Une transformation inversible t (une bijection) de U dans U est un isomorphisme pour R et R lorsque :
S'il existe une telle transformation t, U et U sont isomorphes — plus précisément, les structures (U, R) et (U, R) sont isomorphes.
Cette définition peut être aisément généralisée à toutes les relations, quel que soit le nombre de leurs arguments, et aux prédicats monadiques.
Soient U et U deux structures définies par les opérateurs binaires + et +' respectivement.
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