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Assistant de preuve

Assistant de preuve — Wikipédia
Assistant de preuve — Wikipédia

En informatique (ou en mathématiques assistées par informatique), un assistant de preuve est un logiciel permettant la vérification de preuves mathématiques, soit sur des théorèmes au sens usuel des mathématiques, soit sur des assertions relatives à l'exécution de programmes informatiques. Beaucoup de projets ont été lancés pour formaliser les mathématiques, en 1966, Nicolaas de Bruijn lance le projet Automath, suivi par d'autres projets. Les projets les plus avancés sont le projet Mizar en Pologne, le projet -Isabelle en Grande-Bretagne et aux États-Unis et le projet Coq en France. Ces logiciels permettent à un humain de transcrire les étapes d'une démonstration mathématique dans un processus se dénomme formalisation. Grâce à elle, le logiciel peut ensuite vérifier la validité de la démonstration. -. Le but de ces projets est de mettre à la disposition du mathématicien des outils informatiques pour l’aider à élaborer une version formelle du résultat auquel il s’intéresse. Le logiciel stocke aussi les résultats démontrés auparavant. L'écriture de preuves entièrement formelles est une activité extrêmement fastidieuse ; de nombreuses étapes qui seraient sautées, car considérées comme évidentes pour le lecteur familier des mathématiques, doivent être décortiquées dans les plus grands détails. Cependant, l'assistant de preuve peut fournir plus ou moins d'automatisation pour limiter le travail de l'utilisateur humain. Certains assistants de preuve, tels que PVS, possèdent des procédures de décision dans des domaines souvent utilisés et décidables (tels que l'arithmétique de Presburger) ; souvent, on leur ajoute des procédures de semi-décision (qui ne se terminent pas forcément avec succès). Selon une étude de Freek Wiedijk évoquée en 2011 dans le magazine Pour la Science mais réactualisée depuis, sur la liste des « 100 théorèmes mathématiques les plus importants » — liste attribuée à Paul et Jack Abad — 91 des 100 théorèmes ont été formalisés. Avec les assistants de preuve actuels, le travail de formalisation est rendu fastidieux par un langage complexe.

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Type dépendant
En Informatique et en Logique, un type dépendant est un type qui peut dépendre d'une valeur définie dans le langage typé. Les langages Agda et Gallina (de l'assistant de preuve Coq) sont des exemples de langages à type dépendant. Les types dépendants permettent par exemple de définir le type des listes à n éléments. Voici un exemple en Coq. Inductive Vect (A: Type): nat -> Type := | nil: Vect A 0 | cons (n: nat) (x: A) (t: Vect A n): Vect A (S n).
Coq (logiciel)
Coq est un assistant de preuve utilisant le langage Gallina, développé par l'équipe PI.R2 de l’Inria au sein du laboratoire PPS du CNRS et en partenariat avec l'École polytechnique, le CNAM, l'Université Paris Diderot et l'Université Paris-Sud (et antérieurement l'École normale supérieure de Lyon). Le nom du logiciel (initialement CoC) est particulièrement adéquat car : il est français ; il est fondé sur le calcul des constructions (CoC abrégé en anglais) introduit par Thierry Coquand.
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