Preuve de l'irrationalité de π

Dans les années 1760, Johann Heinrich Lambert a été le premier à prouver que le nombre est irrationnel, c'est-à-dire qu'il ne peut pas s'écrire sous forme d'une fraction a/b, avec a et b entiers non nuls. Au , Charles Hermite établit une preuve ne reposant sur aucun prérequis au-delà de l'analyse élémentaire. Des versions simplifiées de la preuve de Hermite ont été plus tard trouvées par Mary Cartwright et Ivan Niven. Une autre preuve, une version simplifiée de celle de Lambert, est trouvée par Miklós Laczkovich. La plupart sont des preuves par l'absurde ou par contraposition. En 1882, Ferdinand von Lindemann établit que est non seulement irrationnel, mais transcendant. En 1761, Lambert prouve que est irrationnel en établissant dans un premier temps le développement en fraction continue généralisée suivant de la fonction tangente : en utilisant les développements en série entière des fonctions cosinus et sinus. Ensuite, Lambert montre que si x est non nul et rationnel alors tan x est irrationnel. Or, comme tan(π/4) = 1, il en déduit que π/4 est irrationnel et donc que est irrationnel. Historiquement, cette preuve fut le premier pas vers la démonstration de l'impossibilité de la quadrature du cercle. Rédigée en 1873, cette preuve utilise la caractérisation de comme plus petite solution positive de l'équation cos(x/2) = 0 et montre en fait que 2 lui-même est irrationnel. Comme de nombreuses preuves d'irrationalité, c'est une démonstration par l'absurde. Hermite définit par récurrence une suite de fonctions réelles An : Des où f est un polynôme et , il déduit que où U = W(x), W étant un polynôme à coefficients entiers de degré partie entière de n/2. Il indique également une seconde méthode (moins directe) fournissant la même expression de A : Il en déduit au passage que les fonctions vérifient . Il ne prend pas la peine d'expliciter la relation (immédiate d'après son développement en série entière) entre ses suites de fonctions et les fonctions de Bessel de première espèce Jα(x) : mais c'est sans doute cette relation qui lui fournit la formule explicite suivante : Si π2/4 = p/q, avec p et q deux entiers alors pour tout entier pair n, le nombre N := qn/2An(π/2) est égal à l'entier qn/2Wn(p/q).