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Concept
Champ de vecteurs
Résumé
thumb|Un exemple de champ de vecteurs, de la forme (-y,x).
thumb|Autre exemple.
thumb|Le flux d'air autour d'un avion est un champ tridimensionnel (champ des vitesses des particules d'air), ici visualisé par les bulles qui matérialisent les lignes de courant.
En mathématiques, un champ de vecteurs ou champ vectoriel est une fonction qui associe un vecteur à chaque point d'un espace euclidien ou plus généralement d'une variété différentielle. Pour la résolution des équations différentielles autonomes du , on utilise le champ des directions (appelé en physique champ des vitesses) qui représente les dérivées tangentes à la trajectoire de ces équations, ce qui permet de la tracer.
Les champs de vecteurs sont souvent utilisés en physique, pour modéliser par exemple la vitesse et la direction d'un fluide en mouvement dans l'espace, ou la valeur et la direction d'une force, comme la force magnétique ou gravitationnelle, qui évoluent d'un point à son point voisin.
Soit E un espace vectoriel euclidien et U un ouvert de E. Un champ de vecteurs de classe de régularité sur U est une application F de classe de U dans E, définie par ses n fonctions composantes :
Exemples :
les vecteurs du des coordonnées polaires ;
le vecteur position.
gradient
Un champ de vecteurs X est appelé champ de gradient quand il existe une fonction f telle qu'en tout point, X est le gradient de f. On dit encore que X dérive du potentiel f. Dans ce cas, les différents potentiels diffèrent d'une constante.
Dans le plan, si le champ de vecteurs X dérive d'un potentiel f, les lignes de niveau de f, courbes sur lesquelles f est égale à une constante, sont appelées courbes équipotentielles pour le champ de vecteurs. En tout point où le champ est non nul, il est normal aux courbes équipotentielles.
Si le champ de vecteurs est tracé sur un ouvert de l'espace à trois dimensions, on parle de même de surfaces équipotentielles. Plus généralement, en dimension quelconque, on a affaire à des hypersurfaces équipotentielles, auxquelles le champ de vecteurs est normal.
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Gradient
vignette|Chaque champ scalaire est représenté par un dégradé (blanc = valeur basse, noir = valeur haute). Chaque gradient est un champ vectoriel, représenté par des flèches bleues ; chacune pointe dans la direction où le champ scalaire croît le plus vite. vignette|La fonction à deux variables f(x, y) = xe−(x2 + y2) correspond à la température (bleu = valeur basse = froid, rouge = valeur haute = chaud). Le gradient de f est un champ vectoriel, représenté par les flèches bleues ; chacune pointe dans la direction où la température croît le plus vite.
Variété différentielle
En mathématiques, les variétés différentielles ou variétés différentiables sont les objets de base de la topologie différentielle et de la géométrie différentielle. Il s'agit de variétés, « espaces courbes » localement modelés sur l'espace euclidien de dimension n, sur lesquelles il est possible de généraliser une bonne part des opérations du calcul différentiel et intégral. Une variété différentielle se définit donc d'abord par la donnée d'une variété topologique, espace topologique localement homéomorphe à l'espace R.
Dérivée partielle
En mathématiques, la dérivée partielle d'une fonction de plusieurs variables est sa dérivée par rapport à l'une de ses variables, les autres étant gardées constantes. C'est une notion de base de l'analyse en dimension , de la géométrie différentielle et de l'analyse vectorielle. La dérivée partielle de la fonction par rapport à la variable est souvent notée . Si est une fonction de et sont les accroissements infinitésimaux de respectivement, alors l'accroissement infinitésimal correspondant de est : Cette expression est la « différentielle totale » de , chaque terme dans la somme étant une « différentielle partielle » de .
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