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Concept
Coefficient binomial de Gauss
Résumé
En mathématiques, les coefficients binomiaux de Gauss ou coefficients q-binomiaux ou encore q-polynômes de Gauss sont des q -analogues des coefficients binomiaux, introduits par C. F. Gauss en 1808 .
Le coefficient q-binomial, écrit ou , est un polynôme en à coefficients entiers, qui donne, lorsque est une puissance de nombre premier, le nombre de sous-espaces vectoriels de dimension d'un espace vectoriel de dimension sur un corps fini à éléments.
Les coefficients binomiaux de Gauss sont définis pour et entiers naturels et différent de 1 par :
Pour , la valeur est 1 car le numérateur et le dénominateur sont tous deux des produits vides.
Bien que la première formule semble donner une fonction rationnelle en , elle désigne en fait un polynôme en de degré (la division est exacte dans ).
Tous les facteurs au numérateur et au dénominateur sont divisibles par , avec comme quotient le q-analogue :
La division de ces facteurs donne la formule équivalente :
ce qui met en évidence le fait que la substitution dans donne le coefficient binomial ordinaire
En termes de q-factorielles , la formule peut être écrite comme suit :
forme compacte (souvent donnée comme première définition), qui cache cependant la présence de facteurs communs au numérateur et au dénominateur.
Cette forme rend évidente la symétrie pour .
Contrairement au coefficient binomial ordinaire, le coefficient binomial de Gauss a une limite finie quand , pour :
La plupart des logiciels de calcul formel ont des fonctions pour calculer les q-binomiaux :
q_binomial(n, k) dans SageMath
QBinomial(n,k,q) dans Maple (avec le package QDifferenceEquations)
QBinomial[n,k,q] dans Mathematica
Avec les définitions ci-dessus, on montre :
Cette égalité est la q-analogue de la formule du pion pour les coefficients binomiaux classiques.
Avec la formule , on déduit les relations q-analogues de la relation de Pascal :
et
Ces relations montrent, par récurrence, que les coefficients q-binomiaux sont bien des polynômes à coefficients entiers en .
Source officielle
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