Coefficient binomial de Gauss

En mathématiques, les coefficients binomiaux de Gauss ou coefficients q-binomiaux ou encore q-polynômes de Gauss sont des q -analogues des coefficients binomiaux, introduits par C. F. Gauss en 1808 . Le coefficient q-binomial, écrit ou , est un polynôme en à coefficients entiers, qui donne, lorsque est une puissance de nombre premier, le nombre de sous-espaces vectoriels de dimension d'un espace vectoriel de dimension sur un corps fini à éléments. Les coefficients binomiaux de Gauss sont définis pour et entiers naturels et différent de 1 par : Pour , la valeur est 1 car le numérateur et le dénominateur sont tous deux des produits vides. Bien que la première formule semble donner une fonction rationnelle en , elle désigne en fait un polynôme en de degré (la division est exacte dans ). Tous les facteurs au numérateur et au dénominateur sont divisibles par , avec comme quotient le q-analogue : La division de ces facteurs donne la formule équivalente : ce qui met en évidence le fait que la substitution dans donne le coefficient binomial ordinaire En termes de q-factorielles , la formule peut être écrite comme suit : forme compacte (souvent donnée comme première définition), qui cache cependant la présence de facteurs communs au numérateur et au dénominateur. Cette forme rend évidente la symétrie pour . Contrairement au coefficient binomial ordinaire, le coefficient binomial de Gauss a une limite finie quand , pour : La plupart des logiciels de calcul formel ont des fonctions pour calculer les q-binomiaux : q_binomial(n, k) dans SageMath QBinomial(n,k,q) dans Maple (avec le package QDifferenceEquations) QBinomial[n,k,q] dans Mathematica Avec les définitions ci-dessus, on montre : Cette égalité est la q-analogue de la formule du pion pour les coefficients binomiaux classiques. Avec la formule , on déduit les relations q-analogues de la relation de Pascal : et Ces relations montrent, par récurrence, que les coefficients q-binomiaux sont bien des polynômes à coefficients entiers en .