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Concept
Interpolation bicubique
Résumé
vignette|Illustration de l'interpolation bicubique sur un ensemble de données aléatoires
En mathématiques, l'interpolation bicubique est une extension de l'interpolation cubique pour interpoler un ensemble de points distribués sur une grille régulière bidimensionnelle. La surface interpolée est plus lisse que les surfaces correspondantes obtenues par interpolation bilinéaire ou par sélection du plus proche voisin. L'interpolation bicubique peut être accomplie en utilisant soit des polynômes de Lagrange, soit des splines cubiques, soit un algorithme de convolution cubique.
Dans le domaine du traitement d'images numériques, l'interpolation bicubique est souvent préférée à une interpolation bilinéaire ou à la technique du plus proche voisin pour le ré-échantillonnage d'images, lorsque le temps de traitement n'est pas critique. Contrairement à une interpolation bilinéaire, qui ne prend que 4 pixels (2 × 2) en compte, l'interpolation bicubique considère un voisinage de 16 pixels (4 × 4). Les images ré-échantillonnées par une interpolation bicubique sont donc plus lisses et ont moins d'artefacts d'interpolation.
Supposons que les valeurs de la fonction et les dérivés , et sont connues aux quatre coins et d'un carré unitaire. La surface interpolée peut alors être écrite :
Le problème de l'interpolation consiste à déterminer les seize coefficients . La fonction évaluée en ces quatre points, nous donne ces quatre équations :
De même, en évaluant les dérivées partielles et à ces quatre points, on obtient les huit équations :
Finalement, les quatre équations suivantes sont obtenues en évaluant la dérivée partielle
Dans les expressions ci-dessus,
Cette procédure donne une surface sur le carré unitaire qui est continue et a des dérivées continues. L'interpolation bicubique sur une grille régulière de taille quelconque peut donc être réalisée en recollant des surfaces unitaires interpolées bicubiques, en s'assurant que les dérivées aux limites correspondent.
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