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Concept
Statistique exhaustive
Résumé
Les statistiques exhaustives sont liées à la notion d'information et en particulier à l'information de Fisher. Elles servent entre autres à améliorer des estimateurs grâce à l'usage du théorème de Rao-Blackwell et du théorème de Lehmann-Scheffé.
Intuitivement, parler d'une statistique exhaustive revient à dire que cette statistique contient l'ensemble de l'information sur le(s) paramètre(s) de la loi de probabilité.
Soit un vecteur d'observation de taille , dont les composantes sont indépendantes et identiquement distribués (iid). Soit un paramètre influant sur la loi de probabilité à laquelle sont soumis les . Une statistique est dite exhaustive (pour le paramètre ) si la probabilité conditionnelle d'observer
sachant est indépendante de . Cela peut se traduire par la formule suivante :
En pratique l'on se sert peu de cette formule pour montrer qu'une statistique est exhaustive et l'on préfère en règle générale utiliser le critère suivant appelé critère de factorisation (parfois aussi appelé critère de Fisher-Neyman):
Soit la densité de probabilité du vecteur d'observation . Une statistique est exhaustive si et seulement s'il existe deux fonctions g et h mesurables telles que:
Si est un vecteur d'observation de variables iid de loi exponentielle de paramètre alors est une statistique exhaustive.
En effet la densité de est donné par: qui peut se factoriser comme: .
Ici on a mais ce n'est pas toujours le cas.
Soient des variables iid de distribution de Poisson d'espérance , alors est une statistique exhaustive.
La densité de la loi de est :
La densité de la loi de est le produit des densités des car ils sont iid donc :
Le critère de factorisation est satisfait avec
Dans le cadre de l'information de Fisher pour une statistique on a les deux résultats suivants :
Pour une statistique exhaustive on a ce qui permet de voir une statistique exhaustive comme une statistique comprenant toute l'information du modèle. On a aussi la réciproque à savoir que si alors S est exhaustif bien que cette caractérisation soit rarement utilisée dans ce sens.
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