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Concept
Fonction à dérivée faible
Résumé
En mathématiques, une fonction à dérivée faible est une généralisation du concept de la dérivée d'une fonction (dérivée forte) pour les fonctions non supposées différentiables, mais seulement intégrables, c'est-à-dire dans l'espace Lp : L([a , b]).
Soit u une fonction dans l'espace de Lebesgue L([a , b]). On dit que est une dérivée faible de u si,
pour toute fonction infiniment différentiable φ telle que φ(a) = φ(b) = 0. Cette définition est motivée par la technique d'intégration par parties.
Généralisation aux dimensions supérieures
Si u et v sont dans l'espace L(U) des fonctions localement intégrables pour certains ensembles ouverts , et si α est un multi-indice, on dit que v est la dérivée faible d'ordre α de u si
pour tout , c’est-à-dire pour toutes les fonctions infiniment différentiables φ avec support compact dans U. Ici Dφ est défini comme
Si u a une dérivée faible, il est souvent écrit Du puisque les dérivées faibles sont uniques (au moins, jusqu'à un ensemble de mesure zéro, voir ci-dessous).
La fonction valeur absolue u : [−1, 1] → [0, 1], u(t) = |t|, qui n'est pas différentiable à t = 0, a une dérivée faible v connue sous le nom de fonction signe donné par
Ce n'est pas la seule dérivée faible de u : tout w égal à v presque partout est aussi une dérivée faible de u. Ce n’est généralement pas un problème, car dans la théorie de l'espace Lp et des espaces de Sobolev, les fonctions qui sont égales presque partout sont identifiées.
La fonction caractéristique des nombres rationnels n'est nulle part différentiable, mais sa dérivée est faible. Puisque la mesure de Lebesgue des nombres rationnels est zéro,
ainsi est la dérivée faible de . IL faut noter que ceci est en accord avec l'intuition puisque considérée comme membre d'un espace, est identique à la fonction nulle.
la fonction escalier de Cantor c n'a pas de dérivée faible, bien qu'elle soit différentiable presque partout. En effet, toute dérivée faible de c devrait être égale presque partout à la dérivée classique de c, qui est égale à zéro presque partout.
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Proximité ontologique
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