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Concept
Fonction à dérivée faible
Résumé
En mathématiques, une fonction à dérivée faible est une généralisation du concept de la dérivée d'une fonction (dérivée forte) pour les fonctions non supposées différentiables, mais seulement intégrables, c'est-à-dire dans l'espace Lp : L([a , b]).
Définition
Soit u une fonction dans l'espace de Lebesgue L([a , b]). On dit que v \in L^1([a,b]) est une dérivée faible de u si,
:\int_a^b u(t)\varphi'(t)dt=-\int_a^b v(t)\varphi(t)dt
pour toute fonction infiniment différentiable φ telle que φ(a) = φ(b) = 0. Cette définition est motivée par la technique d'intégration par parties.
;Généralisation aux dimensions supérieures
Si u et v sont dans l'espace L(U) des fonctions localement intégrables pour certains ensembles ouverts U \subset \mathbb{R}^n, et si α est un multi-indice, on dit que v est la dérivée faible d'ordre α de u
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