MonoïdeEn mathématiques, un monoïde est une structure algébrique utilisée en algèbre générale, définie comme un ensemble muni d'une loi de composition interne associative et d'un élément neutre. Autrement dit, c'est un magma associatif et unifère, c'est-à-dire un demi-groupe unifère. Il arrive parfois qu'une structure composée d'un ensemble et d'une unique opération soit relativement pauvre en éléments inversibles, par exemple un anneau où l'on considère uniquement la multiplication. Une telle structure est appelée monoïde.
Variété (algèbre)En algèbre universelle, une variété est une classe équationnelle, c'est-à-dire une classe K non vide de structures algébriques de même signature qui satisfont un ensemble d'identités (appelé axiomatisation équationnelle de la classe). Un monoïde est un ensemble E muni d'une loi interne * associative et d'un élément neutre. Ainsi, pour tous éléments x, y, z d'un monoïde, les équations suivantes sont vérifiées : (x * y) * z = x * (y * z) x * e = x e * x = x De plus, ces trois équations caractérisent la notion de monoïde.
Élément absorbantEn mathématiques (algèbre), un élément absorbant (ou élément permis) d'un ensemble pour une loi de composition interne est un élément de cet ensemble qui transforme tous les autres éléments en l'élément absorbant lorsqu'il est combiné avec eux par cette loi. Soit un magma. Un élément de est dit : absorbant à gauche si ; absorbant à droite si ; absorbant s'il est absorbant à droite et à gauche. Dans un magma , l'élément absorbant, s'il existe : est unique : si et sont deux éléments absorbants, ; est idempotent : si est absorbant, .
Demi-groupe inversifEn mathématiques, et notamment en algèbre, un demi-groupe inversif est un demi-groupe où tout élément a un inverse unique au sens des demi-groupes : pour tout élément de , il existe un élément unique de tel que et . Les demi-groupes inversifs apparaissent dans un certain nombre de contextes. L'exemple le plus courant est le demi-groupe des bijections partielles d'une ensemble dans lui-même appelé le demi-groupe inversif symétrique ou monoïde inversif symétrique sur cet ensemble.
AlternativitéEn mathématiques, plus particulièrement en algèbre générale, la propriété d'alternativité peut concerner les lois de composition internes, spécialement la multiplication de certaines algèbres. C'est une propriété moins forte que l'associativité et, pour les algèbres, plus forte que l'associativité des puissances. Un magma M est dit alternatif à gauche si (xx)y = x(xy) pour tous x et y dans M et alternatif à droite si y(xx) = (yx)x pour tous x et y dans M. Il est dit alternatif s'il est à la fois alternatif à gauche et alternatif à droite.
IdempotenceEn mathématiques et en informatique, l'idempotence signifie qu'une opération a le même effet qu'on l'applique une ou plusieurs fois. Par exemple, la valeur absolue est idempotente : , les deux membres étant égaux à 5. On retrouve ce concept en algèbre générale, en particulier dans la théorie des opérateurs de projection et des opérateurs de clôture, mais aussi en informatique, en particulier en programmation fonctionnelle. Un élément x d'un magma (M, •) est dit idempotent si : x • x = x.
Algèbre des termesEn logique mathématique, l'algèbre des termes est la structure algébrique libre sur une signature. Si la signature ne contient qu'un symbole de fonction binaire f, alors l'algèbre des termes sur un ensemble de variables X est exactement le magma libre sur X. Si x, y, z sont des variables de X, cette algèbre des termes contient les éléments suivants : x, y, z, f(x, x), f(x, f(x, y)), f(f(f(y, f(x), f(z, z)), y, x), etc. Le problème de décision associé à l'algèbre des termes est décidable et non élémentaire.
