Opérateur non borné

En analyse fonctionnelle, un opérateur non borné est une application linéaire partiellement définie. Plus précisément, soient X, Y deux espaces vectoriels. Un tel opérateur est donné par un sous-espace dom(T) de X et une application linéaire dont l'ensemble de définition est dom(T) et l'ensemble d'arrivée est Y. Considérons X = Y = L(R) et l'espace de Sobolev H(R) des fonctions de carré intégrable dont la dérivée au sens des distributions appartient, elle aussi, à L(R). On définit T par dom(T) = H(R) et T(f) = f (dérivée au sens des distributions). En tant qu'opérateur partiellement défini de X dans Y, c'est un opérateur non borné. Les opérateurs fermés forment une classe d'opérateurs linéaires sur les espaces vectoriels normés plus vaste que celle des opérateurs bornés. Ils ne sont donc pas nécessairement continus, mais il leur reste suffisamment de bonnes propriétés pour qu'on puisse définir pour eux le spectre et (sous certaines hypothèses) un calcul fonctionnel. Beaucoup d'opérateurs linéaires importants qui ne sont pas bornés sont fermés, comme l'opérateur de dérivation et bon nombre d'opérateurs différentiels. Soient X, Y deux espaces vectoriels normés. Un opérateur non borné T : dom(T) → Y (où dom(T) est un sous-espace de X) est dit fermé si son graphe est fermé dans X×Y. Un opérateur T est dit fermable s'il possède un prolongement fermé, autrement dit si l'adhérence de son graphe est le graphe d'un opérateur , qu'on appelle alors fermeture de T. Un cœur, ou domaine essentiel, d'un opérateur fermable T est un sous-espace C de dom(T) tel que la restriction de T à C ait même fermeture que T. Soit T un opérateur non borné, de domaine inclus dans X et à valeurs dans Y. T est fermé si et seulement si pour toute suite (x) dans dom(T) admettant dans X une limite x et dont l'image par T converge, on a x ∈ dom(T) et T(x) → T(x). T est fermable si et seulement si pour toute suite (x) dans dom(T) convergeant vers 0 et dont l'image par T converge, on a T(x) → 0.