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Concept
Opérateur adjoint
Résumé
En mathématiques, un opérateur adjoint est un opérateur sur un espace préhilbertien qui est défini, lorsque c'est possible, à partir d'un autre opérateur a et que l'on note a*. On dit aussi que a* est l'adjoint de a.
Cet opérateur adjoint permet de faire passer l'opérateur a de la partie gauche du produit scalaire définissant l'espace préhilbertien à la partie droite du produit scalaire. Il s'agit donc d'une généralisation de la notion de matrice adjointe à des espaces de dimension infinie.
Si l'opérateur initial est continu et si l'espace vectoriel est complet, l'adjoint est toujours défini. Ainsi dans le cas de la dimension finie, l'adjoint de tout opérateur est bien défini. L'application qui à un opérateur associe son adjoint est une isométrie semi-linéaire et involutive.
La notion d'adjoint permet de définir un ensemble d'opérateurs possédant une compatibilité particulière vis-à-vis du produit scalaire, les opérateurs commutant avec leur adjoint. Ils sont alors dits normaux. Parmi ces opérateurs, on distingue trois cas particuliers importants, celui d'un opérateur autoadjoint (adjoint de lui-même), antiautoadjoint (adjoint de son opposé) et unitaire (inverse de son adjoint). Sur un espace vectoriel réel, les termes utilisés sont respectivement : symétrique, antisymétrique et orthogonal. Sur un espace vectoriel complexe, on dit respectivement : hermitien (ou hermitique), antihermitien (ou antihermitique) et unitaire.
La notion d'adjoint d'un opérateur possède de nombreuses applications. En dimension finie et sur le corps des nombres complexes, la structure des endomorphismes normaux est simple, ils sont diagonalisables dans une base orthonormale. Le cas de la dimension infinie est plus complexe. Il est important en analyse fonctionnelle. Le cas autoadjoint est particulièrement étudié, il fournit le cadre le plus simple de la théorie spectrale, qui est elle-même au cœur de la mécanique quantique.
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