Énergie de Dirichlet

En mathématiques le terme d'énergie, ou énergie de Dirichlet est employé pour désigner une quantité numérique associée à une application : même si la forme précise varie selon les contextes, il s'agit de l'intégrale du carré de sa dérivée. L'énergie est une quantité associée à des problèmes de minimisation : résolution du problème de Dirichlet en théorie du potentiel, recherche de géodésiques ou d'applications harmoniques en géométrie riemannienne. En théorie du signal il existe une énergie de forme voisine mais ne faisant pas apparaître de dérivée. Soit un ouvert de l'espace euclidien de dimension n. Pour toute fonction u appartenant à l'espace de Sobolev , on introduit son énergie de Dirichlet La fonctionnelle énergie ainsi construite est à valeurs positives. La résolution de l'équation de Laplace , avec des conditions de bord (comme le problème de Dirichlet) peut alors se reformuler comme une question de minimisation de cette énergie. Par extension, certaines fonctionnelles proches et traitées par des arguments similaires peuvent être elles aussi qualifiées d'énergie ou d'énergie de Dirichlet. Par exemple on peut employer une norme de Sobolev plus générale, avec un exposant autre que 2. Cependant c'est avec l'exposant 2 qu'on a les calculs de dérivée fonctionnelleles plus simples. On se place sur une variété riemannienne, éventuellement pseudo-riemannienne (M,g). On peut alors définir la notion de gradient, et donc l'énergie d'un arc tracé sur cette variété Dans le cas riemannien, c'est une quantité toujours positive et dans le cas pseudo riemannien, elle prend des valeurs de signe quelconque. Les points critiques de cette fonctionnelle sont les géodésiques, parcourues à vitesse uniforme (multiple du paramétrage normal). Le calcul d'énergie a une ressemblance formelle avec celui de la longueur, qui en diffère simplement par l'absence de l'exposant 2. Les deux quantités sont reliées par l'inégalité de Hölder avec égalité si et seulement si le paramétrage est à vitesse uniforme.