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Concept
Fonction harmonique
Résumé
En mathématiques, une fonction harmonique est une fonction qui satisfait l'équation de Laplace.
Un problème classique concernant les fonctions harmoniques est le problème de Dirichlet : étant donné une fonction continue définie sur la frontière d'un ouvert, peut-on la prolonger par une fonction qui soit harmonique en tout point de l'ouvert ?
L'équation est appelée équation de Laplace. Une fonction harmonique est donc, par définition, une solution de cette équation.
Les fonctions constantes sont harmoniques sur .
Les fonctions coordonnées, , sont toutes harmoniques sur .
La fonction est harmonique sur .
La fonction est harmonique sur pour tout où désigne la norme euclidienne.
La fonction est harmonique sur .
La fonction est harmonique sur pour tout .
Les fonctions harmoniques sur les intervalles ouverts de sont exactement les fonctions affines.
Puisque l'opérateur laplacien est linéaire, l'ensemble des fonctions harmoniques sur un ouvert fixé est un espace vectoriel. Les fonctions harmoniques sont donc stables par addition et multiplication par un réel.
Si est harmonique sur alors est harmonique sur . En somme les fonctions harmoniques sont stables par translation.
Si est harmonique sur alors est harmonique sur . Ainsi les fonctions harmoniques sont stables par dilatation.
Si est harmonique sur et si est une application orthogonale alors est harmonique sur . Cela découle du fait que, de manière générale, pour toute fonction on a que . Les fonctions harmoniques sont donc stables par transformation orthogonale.
Une fonction harmonique est nécessairement infiniment différentiable. En fait elle est même développable en série entière.Précisons qu'un multi-indice est un n-uplet et que pour on note . Pour que la somme apparaissant dans le résultat précédent fasse sens, il est implicitement supposé que la famille est sommable.
Une limite uniforme sur tout compact d'une suite de fonctions harmoniques est harmonique, de plus les différentielles convergent aussi. Plus précisément
La boule ouverte de centre et de rayon sera notée .
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