Fonction harmonique

En mathématiques, une fonction harmonique est une fonction qui satisfait l'équation de Laplace. Un problème classique concernant les fonctions harmoniques est le problème de Dirichlet : étant donné une fonction continue définie sur la frontière d'un ouvert, peut-on la prolonger par une fonction qui soit harmonique en tout point de l'ouvert ? Définition L'équation \Delta f = 0 est appelée équation de Laplace. Une fonction harmonique est donc, par définition, une solution de cette équation. Exemples

Les fonctions constantes sont harmoniques sur \mathbb R^n.
Les fonctions coordonnées, f_i : (x_1,\dots,x_n) \mapsto x_i, sont toutes harmoniques sur \mathbb R^n.
La fonction f:(x_1,x_2,x_3) \mapsto x_1^2+x_2^2-2x_3^2 -x_2 est harmonique sur \mathbb R^3.
La fonction f : x \mapsto \vert x\vert^{2-n} est harmonique sur \mathbb R^n \setminus {0} pour tout

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Detecting Anisotropic Inclusions Through EIT

Jan Cristina

We study the evolution equation where is the Dirichlet-Neumann operator of a decreasing family of Riemannian manifolds with boundary . We derive a lower bound for the solution of such an equation, and apply it to a quantitative density estimate for the restriction of harmonic functions on to the boundaries of . Consequently we are able to derive a lower bound for the difference of the Dirichlet-Neumann maps in terms of the difference of a background metrics g and an inclusion metric on a manifold .

Springer2017

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Harmonic Maps on Smooth Metric Measure Spaces and on Riemannian Polyhedra

Zahra Sinaei

This thesis is a study of harmonic maps in two different settings. The first part is concerned with harmonic maps from smooth metric measure spaces to Riemannian manifolds. The second part is study of harmonic maps from Riemannian polyhedra to non-positively curved (locally) geodesic spaces in the sense of Alexandrov. The first part is organized as follows. We begin by defining a notion of harmonicity, and justify- ing the definition by checking it against pre-existing definitions and results in special cases. There are two main theorems in this section. The first is Theorem 0.1.1, which is the general- ization of the Shoen-Yau theorem [SY76] in our setting. The second is on the convergence of harmonic maps between Riemannian manifolds. Specifically we will show that if fi : Mi → N are a sequence of harmonic maps between Riemannian manifolds, and if the manifolds Mi converge to a smooth metric measure space M in the measured Gromov-Hausdorff topology, then the fi converge to a harmonic map f : M → N. This is the content of Theorem 0.1.2 In the second part, we prove Liouville-type theorems for harmonic maps under two different assumptions on the source space. First we prove the analogue of the Schoen-Yau theorem on a complete (smooth) pseudomanifolds with non-negative Ricci curvature. To this end we gen- eralize some Liouville- type theorems for subharmonic functions from [Yau76]. Then we study 2-parabolic admissible Riemannian polyhedra and prove vanishing results for subharmonic functions and harmonic maps on 2-parabolic pseudomanifolds.

EPFL2013

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Some regularity results for p-harmonic mappings between Riemannian manifolds

Changyu Guo

Let M be a C-2-smooth Riemannian manifold with boundary and N a complete C-2-smooth Riemannian manifold. We show that each stationary p-harmonic mapping u: M -> N, whose image lies in a compact subset of N, is locally C-1,C-alpha for some alpha is an element of (0, 1), provided that N is simply connected and has non-positive sectional curvature. We also prove similar results for minimizing p-harmonic mappings with image being contained in a regular geodesic ball. Moreover, when M has non-negative Ricci curvature and N is simply connected with non-positive sectional curvature, we deduce a gradient estimate for C-1-smooth weakly p-harmonic mappings from which follows a Liouville-type theorem in the same setting. (C) 2019 Elsevier Ltd. All rights reserved.

2019

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vignette|Une photographie de David Hilbert (1862 - 1943) qui a donné son nom aux espaces dont il est question dans cet article. En mathématiques, un espace de Hilbert est un espace vectoriel réel (re

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