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Concept
Interprétation (logique)
Résumé
En logique, une interprétation est une attribution de sens aux symboles d'un langage formel. Les langages formels utilisés en mathématiques, en logique et en informatique théorique ne sont définis dans un premier temps que syntaxiquement ; pour en donner une définition complète, il faut expliquer comment ils fonctionnent et en donner une interprétation. Le domaine de la logique qui donne une interprétation aux langages formels s'appelle la sémantique formelle.
Pour plus de commodité, nous allons nous restreindre aux logiques formelles les plus souvent étudiées, à savoir, la logique propositionnelle, la logique des prédicats et la logique modale. Une interprétation est une fonction qui a pour domaine un langage formel et pour cible un modèle.
Si le modèle contient les booléens, une interprétation classique affecte à chaque une valeur de vérité. Si pour une interprétation donnée, la fonction affecte la valeur vrai à une proposition, l'interprétation est appelée la structure de la proposition.
Un langage formel est une collection de propositions (aussi appelés formules), composé à partir d'un ensemble de lettres ou de symboles. Cet ensemble de lettres est appelé l'.
La logique propositionnelle est un langage formel dont l'alphabet est divisé en deux ensembles : les connecteurs et les variables propositionnelles.
Cette section traite de la logique classique. Pour d'autres approches, voir par exemple Logique intuitionniste.
De nombreuses interprétations couramment étudiées associent chaque proposition dans un langage formel avec une seule valeur de vérité, soit Vrai ou Faux. Les propositions qui sont vraies pour une valuation sont dites satisfaite par cette valuation.
Une proposition n'est cohérente que si elle est vraie dans au moins une interprétation ; sinon, elle est incohérente. Une proposition φ est dite être logiquement valide si elle est satisfaite par toutes les interprétations (si φ est satisfaite par toute interprétation qui satisfait ψ alors φ est dit être une conséquence logique de ψ).
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