Anneau de Dedekind

thumb|Richard Dedekind définit et établit les bases de la théorie des anneaux portant maintenant son nom. En mathématiques, un anneau de Dedekind est un anneau commutatif disposant de propriétés particulières (voir aussi anneau de Dedekind non commutatif). Sa formalisation initiale a pour objectif la description d'un ensemble d'entiers algébriques, ce concept est aussi utilisé en géométrie algébrique. Les anneaux de Dedekind doivent leur origine à la théorie algébrique des nombres. Pour résoudre des équations comme celle du dernier théorème de Fermat, même pour de petits exposants, l'anneau des entiers relatifs s'avère malcommode. Il est parfois plus simple de considérer d'autres anneaux, comme celui des entiers de Gauss, d'Eisenstein ou l'anneau des entiers de Q(). Le théorème des deux carrés de Fermat ou encore l'équation de Pell-Fermat illustrent l'utilité d'une telle structure. Leurs études se fondent sur le cas particulier des entiers quadratiques, plus simple que le cas général. Cette formulation est l'œuvre de Richard Dedekind et date de la fin du . Élément entier Quatre définitions sont nécessaires pour aborder celle de l'article. Soient K un corps commutatif et A un sous-anneau unitaire de K. Un élément de K est dit entier sur A s'il est annulé par un polynôme unitaire à coefficients dans A. Le sous-anneau de K formé des éléments entiers sur A est appelé la fermeture intégrale de A dans K. Soit A un anneau (commutatif unitaire) intègre. Il se plonge dans son corps des fractions. (La méthode est l'analogue de celle permettant de construire le corps des nombres rationnels à partir de l'anneau des entiers relatifs.) L'anneau A est dit intégralement clos si sa fermeture intégrale dans son corps des fractions est réduite à A. Tout anneau factoriel est intégralement clos. Un anneau commutatif unitaire est dit noethérien si toute suite croissante d'idéaux est stationnaire, c'est-à-dire constante à partir d'un certain rang. La condition 4 traduit la propriété que la dimension de Krull de l'anneau est inférieure ou égale à 1 — donc égale à 1 si l'on écarte le « cas trivial » où cet anneau est un corps.