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Concept
Coquaternion
Résumé
En mathématiques et en algèbre abstraite, un coquaternion est une idée mise en avant par James Cockle en 1849. Comme les quaternions de Hamilton inventés en 1843, ils forment un espace vectoriel réel à quatre dimensions muni d'une opération multiplicative. À la différence de l'algèbre des quaternions, les coquaternions peuvent avoir des diviseurs de zéro, des éléments idempotents ou nilpotents.
L'ensemble forme une base. Les produits de coquaternion de ces éléments sont
Avec ces produits l'ensemble est isomorphe au groupe diédral d'un carré.
Un coquaternion
possède un conjugué
et un module multiplicatif, qui se comporte en partie comme une norme (arithmétique) :
Lorsque le module est non nul, alors q possède un inverse.
est l'ensemble des unités. L'ensemble P de tous les coquaternions forme un anneau (P, +, •) dont le groupe des unités est (U, •).
Soit
où u et v sont des nombres complexes ordinaires. Alors la matrice complexe
où et (conjugués complexes de u et v),
représentent q dans l'anneau des matrices dans le sens que la multiplication des coquaternions se comporte de la même manière que la multiplication matricielle.
Par exemple, le déterminant de cette matrice ; l'apparition de ce signe moins où se trouve un plus dans H conduit au nom alternatif quaternion fendu pour un coquaternion, par analogie avec les complexes fendus.
Historiquement, les coquaternions ont précédé l'algèbre des matrices de Cayley ; les coquaternions (dans le prolongement des quaternions et des tessarines) évoquent une algèbre linéaire plus large.
Soit
(ici est aussi fondamental que l'azimut)
caténoïde
hyperboloïde à deux nappes
Maintenant, il est facile de vérifier que
et que
Ces égalités d'ensembles signifient que lorsque alors le plan
est un sous-anneau de P, c’est-à-dire isomorphe au plan des nombres complexes fendus lorsque v est dans I alors
est un sous-anneau planaire de P qui est isomorphe au plan complexe ordinaire C.
Pour chaque , c’est-à-dire que et sont nilpotents. Le plan est un sous-anneau de P qui est isomorphe aux nombres duaux.
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