Logique monadique du second ordre

vignette|En logique monadique du second ordre, il y a des variables du premier ordre (x, y, etc.) qui représentent des éléments du domaine et des variables du second ordre (A, Z, etc.) qui représentent des sous-ensembles d'éléments. En logique mathématique et en informatique théorique, la logique monadique du second ordre (abrégé en MSO pour monadic second order) est l'extension de la logique du premier ordre avec des variables dénotant des ensembles. De manière équivalente, c'est le fragment de la logique du second ordre où les quantifications du second ordre ne portent que sur des prédicats unaires (d'où le terme monadique), c'est-à-dire sur des ensembles. Par exemple : est une formule de MSO et elle se lit « il existe un ensemble Z tel qu'il existe un élément u qui appartient à Z et pour tout x, si x est dans Z, alors il existe y tel que y est fils de x et y est dans Z ». Ce n'est pas une formule de la logique du premier ordre car il y a une quantification du second ordre sur Z ; Toutes les formules de la logique du premier ordre sont des formules de MSO ; La formule n'est pas une formule de MSO car il y a une quantification sur un prédicat binaire R. Le problème de satisfiabilité de la logique du premier ordre étant indécidable, comme MSO est une extension conservatrice de la logique du premier ordre, le problème de satisfiabilité de MSO est aussi indécidable. Mais selon Yuri Gurevich, MSO est une source de théories logiques à la fois expressives et décidables. La formule qui définit la récurrence, et qui se lit « pour tout ensemble X, si 0 appartient à X, et si pour tout y, y appartient à X implique y+1 appartient à X alors pour tout z, z appartient à X » est une formule de MSO. Les quantifications « pour tout y » et « pour tout z » sont des quantifications du premier ordre. La quantification « pour tout X » est une quantification du second ordre. Toutes les formules de la logique du premier ordre sont des formules de MSO. vignette|Exemple de graphe non connexe. Les variables du premier ordre x et y dénotent des sommets.