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Concept
Endomorphisme autoadjoint
Résumé
En mathématiques et plus précisément en algèbre linéaire, un endomorphisme autoadjoint ou opérateur hermitien est un endomorphisme d'espace de Hilbert qui est son propre adjoint (sur un espace de Hilbert réel on dit aussi endomorphisme symétrique). Le prototype d'espace de Hilbert est un espace euclidien, c'est-à-dire un espace vectoriel sur le corps des réels, de dimension finie, et muni d'un produit scalaire. L'analogue sur le corps des complexes s'appelle un espace hermitien. Sur ces espaces de Hilbert de dimension finie, un endomorphisme autoadjoint est diagonalisable dans une certaine base orthonormale et ses valeurs propres (même dans le cas complexe) sont réelles. Les applications des propriétés structurelles d'un endomorphisme autoadjoint (donc de sa forme quadratique associée) sont nombreuses.
Espace de Hilbert
Une telle application admet donc un adjoint (égal à ), si bien que c'est un endomorphisme de H : elle est automatiquement linéaire et (même si H est de dimension infinie) continue. On peut donc reformuler la définition en : un endomorphisme autoadjoint (ou « opérateur hermitien ») de H est un endomorphisme égal à son adjoint.
Par le théorème de représentation de Riesz, il existe un isomorphisme de dans l'ensemble des formes bilinéaires (ou des formes sesquilinéaires dans le cas complexe) continues. Cette bijection, qu'ici nous noterons Φ, associe à l'endomorphisme a la forme Φa définie par :
Remarque sur les formes quadratiques. Par restriction de Φ, les endomorphismes autoadjoints sont donc en bijection avec les formes bilinéaires symétriques (resp. les formes hermitiennes). Or ces dernières sont elles-mêmes en bijection avec les formes quadratiques (voir l'article Identité de polarisation). La composée de ces deux bijections associe à tout endomorphisme autoadjoint a la forme quadratique
En résumé, si deux endomorphismes autoadjoints ont même forme quadratique associée alors ils sont égaux.
L'isomorphisme Φ permet d'ajouter deux définitions :
Par exemple pour tout endomorphisme a, l'endomorphisme autoadjoint a∘a* est toujours positif, et il est défini positif si et seulement si a est injectif.
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