Êtes-vous un étudiant de l'EPFL à la recherche d'un projet de semestre?
Travaillez avec nous sur des projets en science des données et en visualisation, et déployez votre projet sous forme d'application sur Graph Search.
Concept
Théorème de Ménélaüs
Résumé
En mathématiques, et plus précisément en géométrie, le théorème de Ménélaüs, dû à Ménélaüs d'Alexandrie, précise les relations existant entre des longueurs découpées dans un triangle par une sécante. Il en existe une version plane et une version pour le triangle sphérique.
Soit un triangle ABC, et trois points D, E et F des droites (BC), (AC) et (AB) respectivement, différents des sommets du triangle. Les points D, E et F sont alignés si et seulement si :
Une telle droite est appelée une ménélienne — ou une transversale — du triangle ABC.
Remarque : on utilise la mesure algébrique des segments (qui dépend de l'orientation choisie pour la droite support). Par contre, le rapport des mesures algébriques de deux segments portés par une même droite est indépendant de l'orientation que l'on choisit pour cette droite.
Soit A le point appartenant à la droite (FD) tel que (AA) soit parallèle à (BD).
D'après le théorème de Thalès appliqué aux paires de triangles FBD/FAA et EDC/EA'A, on a respectivement les égalités de rapports de mesures algébriques :
On en déduit que
ce qui équivaut à
Réciproquement, soient D, E, F trois points appartenant respectivement aux côtés (BC), (AC) et (AB) d'un triangle et tels que
Supposons d'abord que (EF) et (BC) soient parallèles. En appliquant le théorème de Thalès dans le triangle ABC, on aurait
Compte tenu de l'hypothèse, cela implique que soit , donc on aurait B = C ce qui est impossible. On en déduit que (EF) et (BC) sont sécantes et on appelle X leur point d'intersection.
Comme démontré plus haut, on a
et d'après l'hypothèse, on a donc ce qui implique X = D. Les points D, E et F sont donc alignés.
Le théorème précédent se généralise aux espaces affines de dimension n quelconque.
Soit E un espace affine de dimension n, et (A,...,A) une base affine de E. On pose A = A. Pour , soit .
Les points (M,...,M) sont contenus dans un même hyperplan affine de E si et seulement si .
vignette|Figure de la sécante, illustration de la version du théorème dans un triangle sphérique.
Source officielle
À propos de ce résultat
Cette page est générée automatiquement et peut contenir des informations qui ne sont pas correctes, complètes, à jour ou pertinentes par rapport à votre recherche. Il en va de même pour toutes les autres pages de ce site. Veillez à vérifier les informations auprès des sources officielles de l'EPFL.