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Concept
Théorème de Ceva
Résumé
En mathématiques, le théorème de Ceva est un théorème de géométrie affine plane qui donne une condition nécessaire et suffisante pour que trois droites passant par les trois sommets d'un triangle soient parallèles ou concourantes. Il s'interprète naturellement en géométrie euclidienne et se généralise en géométrie projective.
Il doit son nom au mathématicien italien Giovanni Ceva qui, quelques années après le mathématicien espagnol José Zaragoza, en énonce et démontre une version dans le De lineis rectis se invicem secantibus statica constructio en 1678. Cependant, il était déjà connu, à la fin du , de Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd, géomètre et roi de Saragosse. Celui-ci le démontre dans son Livre de perfection (Kitab al-Istikmal, en arabe: ar), renommé en son temps et dont le texte a été redécouvert en 1985.
Cette section présente un cas particulier du théorème de Ceva, celui où les trois droites passant par chacun des sommets du triangle sont intérieures à celui-ci. L'énoncé se simplifie : ces trois droites ne peuvent être parallèles, et il suffit de parler de rapports de longueurs.
On appellera dans la suite cévienne d'un triangle une droite passant par un sommet et rencontrant le segment opposé. Ici, les points D, E et F sont bien sur les côtés.
On va donner une démonstration ne faisant intervenir que des notions de proportionnalité de longueurs et d'aires, des outils qui étaient déjà disponibles à l'époque d'Euclide.
On peut déduire du théorème de Ceva par la loi des sinus une version trigonométrique de celui-ci.
Il s'avère que le théorème de Ceva (la première version), est un énoncé de géométrie affine, c'est-à-dire qu'il n'est pas besoin de parler de longueur, d'orthogonalité, ou d'angle, même si bien sûr le théorème reste valide a fortiori dans ce contexte. Pour cela on doit abandonner les longueurs et donner un énoncé en termes de rapports de mesures algébriques. Une mesure algébrique est intuitivement, en géométrie euclidienne, une longueur avec un signe qui dépend d'une orientation arbitraire sur une droite donnée.
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