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Concept

Espace préhilbertien

En mathématiques, un espace préhilbertien est défini comme un espace vectoriel réel ou complexe muni d'un produit scalaire. Cette notion généralise celles d'espace euclidien ou hermitien dans le cas d'une dimension quelconque, tout en conservant certaines bonnes propriétés géométriques des espaces de dimension finie grâce aux propriétés du produit scalaire, mais en perdant un atout de taille : un espace préhilbertien de dimension infinie n'est pas nécessairement complet. On peut cependant le compléter, pour obtenir un espace de Hilbert. Motivations Le cas général d'un espace préhilbertien en dimension infinie diffère à bien des égards de la dimension finie. L'espace dual n'est plus nécessairement isomorphe à l'espace, l'orthogonal d'un sous-espace vectoriel F n'est plus nécessairement un supplémentaire de F, et l'inclusion de F dans son biorthogonal peut être stricte. Par ailleurs, les applications linéaires ne sont plus nécessairement continues. Les techniques d'analyse de

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On arithmetic progressions in symmetric sets in finite field model

Jan Hazla

We consider two problems regarding arithmetic progressions in symmetric sets in the finite field (product space) model. First, we show that a symmetric set S subset of Z(q)(n) containing vertical bar S vertical bar = mu . q(n) elements must contain at least delta(q, mu) . q(n) . 2(n) arithmetic progressions x, x+d, . . . , x+(q - 1).d such that the difference d is restricted to lie in {0, 1}(n). Second, we show that for prime p a symmetric set S subset of F-p(n) with vertical bar S vertical bar = mu . p(n) elements contains at least mu(C(p)) . p(2n) arithmetic progressions of length p. This establishes that the qualitative behavior of longer arithmetic progressions in symmetric sets is the same as for progressions of length three.

ELECTRONIC JOURNAL OF COMBINATORICS2020

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Many-body localization in a fragmented Hilbert space

Loïc Jean Pierre Herviou

We study many-body localization (MBL) in a pair-hopping model exhibiting strong fragmentation of the Hilbert space. We show that several Krylov subspaces have both ergodic statistics in the thermodynamic limit and a dimension that scales much slower than the full Hilbert space but still exponentially. Such a property allows us to study the MBL phase transition in systems including up to 64 spins. The different Krylov spaces that we consider show clear signatures of a many-body localization transition, both in the Kullback-Leibler divergence of the distribution of their level spacing ratio and their entanglement properties. However, they also present distinct scalings with the system size. Depending on the subspace, the critical disorder strength can be nearly independent of the system size or conversely show an approximately linear increase with the number of spins.

2021

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Large data scattering for NLKG on waveguide R-d x T

Luigi Forcella

We consider the pure-power defocusing nonlinear Klein-Gordon equation, in the H-1-subcritical case, posed on the product space R-d X T, where T is the one-dimensional flat torus. In this framework, we prove that scattering holds for any initial data belonging to the energy space H(1)x L-2 for 1

WORLD SCIENTIFIC PUBL CO PTE LTD2020

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Espace vectoriel

vignette|Dans un espace vectoriel, on peut additionner deux vecteurs. Par exemple, la somme du vecteur v (en bleu) et w (en rouge) est v + w. On peut aussi multiplier un vecteur, comme le vecteur w qu

Espace de Hilbert

vignette|Une photographie de David Hilbert (1862 - 1943) qui a donné son nom aux espaces dont il est question dans cet article. En mathématiques, un espace de Hilbert est un espace vectoriel réel (re

Matrice (mathématiques)

thumb|upright=1.5 En mathématiques, les matrices sont des tableaux d'éléments (nombres, caractères) qui servent à interpréter en termes calculatoires, et donc opérationnels, les résultats théoriques

MATH-302: Functional analysis I

Concepts de base de l'analyse fonctionnelle linéaire: opérateurs bornés, opérateurs compacts, théorie spectrale pour les opérateurs symétriques et compacts, le théorème de Hahn-Banach, les théorèmes de l'application ouverte et du graphe fermé.

MATH-111(c): Linear Algebra

L'objectif du cours est d'introduire les notions de base de l'algèbre linéaire et ses applications.

PHYS-216: Mathematical methods for physicists

This course complements the Analysis and Linear Algebra courses by providing further mathematical background and practice required for 3rd year physics courses, in particular electrodynamics and quantum mechanics.