Sous-groupe compact maximal
En mathématiques, un sous-groupe compact maximal K d'un groupe topologique G est un sous-groupe K qui est un espace compact, dans la topologie du sous-espace, et maximal parmi ces sous-groupes. Les sous-groupes compacts maximaux jouent un rôle important dans la classification des groupes de Lie et en particulier des groupes de Lie semi-simples. Les sous-groupes compacts maximaux de groupes Lie ne sont pas en général unique, mais sont unique à conjugaison près - ils sont essentiellement uniques. Un exemple serait le sous-groupe O(2), le groupe orthogonal, à l'intérieur du groupe linéaire général GL(2, R). Un exemple connexe est SO(2) dans SL(2, R) . Mais SO(2) dans GL(2, R) est compact et non maximal. La non-unicité de ces exemples peut être vu par le fait que tout produit interne a un groupe orthogonal associé, et l'unicité essentielle correspond à l'unicité essentielle du produit interne. Un sous-groupe compact maximal est un sous-groupe maximal parmi des sous-groupes compacts, plutôt que qu'un sous-groupe maximal qui se trouve être compact. Le théorème de Cartan-Iwasawa-Malcev affirme que tout groupe de Lie connexe (et en fait tout groupe localement compact connexe) admet des sous-groupes compacts maximaux et qu'ils sont tous conjugués les uns aux autres. Pour un groupe de Lie semi-simple, l'unicité est une conséquence du théorème du point fixe de Cartan, qui affirme que si un groupe compact agit par isométries sur une variété riemannienne complète simplement connexe à courbure négative, alors il a un point fixe. Les sous-groupes compacts maximaux des groupes de Lie connexes ne sont généralement pas uniques, mais ils sont uniques à conjugaison près, ce qui signifie que, étant donné deux sous-groupes compacts maximaux K et L, il existe un élément g ∈ G (non unique) tel que gKg−1 = L . Par conséquent, un sous-groupe compact maximal est essentiellement unique. Pour un groupe de Lie semi-simple réel, la preuve de Cartan de l'existence et de l'unicité d'un sous-groupe compact maximal peut être trouvée dans Borel (1950) et Helgason (1978).