Groupe classique

Résumé

En mathématiques, les groupes classiques sont différentes familles de groupes de transformations liées à l'algèbre linéaire, principalement les groupes linéaires, orthogonaux, symplectiques et unitaires. Ces groupes peuvent aussi être présentés comme groupes de matrices inversibles, et des quotients de ceux-ci. Les groupes matrices carrées d'ordre n (GL(n, R)), GL(n, C)), le groupe des matrices orthogonales d'ordre n (O(n)) et le groupe des matrices unitaires d'ordre n (U(n)) sont des exemples explicites de groupes classiques. À tout groupe classique, on peut associer une ou plusieurs géométrie dite classique, dans l'esprit du programme d'Erlangen de Felix Klein. Réciproquement, les groupes associés aux géométries classiques sont des groupes classiques (ou liés à ceux-ci). Sans contexte ou qualificatif, l'expression groupe classique est ambiguë. Dans certains contextes, on peut lever l'ambiguïté : il y a les groupes de Lie simples classiques et les groupes algébriques simples class

Source officielle

https://fr.wikipedia.org/wiki/Groupe_classique

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This dissertation is concerned with the study of irreducible embeddings of simple algebraic groups of exceptional type. It is motivated by the role of such embeddings in the study of positive dimensional closed subgroups of classical algebraic groups. The classification of the maximal closed connected subgroups of simple algebraic groups was carried out by E. B. Dynkin, G. M. Seitz and D. M. Testerman. Their analysis for the classical groups was based primarily on a striking result: if G is a simple algebraic group and ø : G → SL(V ) is a tensor indecomposable irreducible rational representation then, with specified exceptions, the image of G is maximal among closed connected subgroups of one of the classical groups SL(V), Sp(V ) or SO(V ). In the case of closed, not necessarily connected, subgroups of the classical groups, one is interested in considering irreducible embeddings of simple algebraic groups and their automorphism groups: given a simple algebraic group Y defined over an algebraically closed field K, one is led to study the embeddings G < Aut(Y ), where G and Aut(Y ) are closed subgroups of SL(V ) and V is an irreducible rational KY -module on which G acts irreducibly. A partial analysis of such embeddings in the case of classical algebraic groups Y was carried out by B. Ford. We purpose to classify all triples (G, Y, V ) where Y is a simple algebraic group of exceptional type, defined over an algebraically closed field K of characteristic p > 0, G is a closed non-connected positive dimensional subgroup of Y and V is a nontrivial irreducible rational KY -module such that V|G is irreducible. We obtain a precise description of such triples (G, Y, V ).

EPFL2008

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The xi-stability on the affine grassmannian

Zongbin Chen

We introduce a notion of xi-stability on the affine grassmannian (SIC) for the classical groups, this is the local version of the xi-stability on the moduli space of Higgs bundles on a curve introduced by Chaudouard and Laumon. We prove that the quotient (SIC)(xi)/T of the stable part (SIC)(xi) by the maximal torus T exists as an ind-k-scheme, and we introduce a reduction process analogous to the Harder-Narasimhan reduction for vector bundles over an algebraic curve. For the group , we calculate the Poincar, series of the quotient (SIC)(xi)/T.

Springer Heidelberg2015

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Embeddings of maximal tori in classical groups over local and global fields

Eva Bayer Fluckiger, Ting-Yu Lee

Embeddings of maximal tori in classical groups over fields of characteristic not 2 are the subject matter of several recent papers. The aim of the present paper is to give necessary and sufficient conditions for such an embedding to exist, when the base field is a local field, or the field of real numbers. This completes the results of [3], where a complete criterion is given for the Hasse principle to hold when the base field is a global field.

Turpion Ltd2016

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