Groupe classique

En mathématiques, les groupes classiques sont différentes familles de groupes de transformations liées à l'algèbre linéaire, principalement les groupes linéaires, orthogonaux, symplectiques et unitaires. Ces groupes peuvent aussi être présentés comme groupes de matrices inversibles, et des quotients de ceux-ci. Les groupes matrices carrées d'ordre n (GL(n, R)), GL(n, C)), le groupe des matrices orthogonales d'ordre n (O(n)) et le groupe des matrices unitaires d'ordre n (U(n)) sont des exemples explicites de groupes classiques. À tout groupe classique, on peut associer une ou plusieurs géométrie dite classique, dans l'esprit du programme d'Erlangen de Felix Klein. Réciproquement, les groupes associés aux géométries classiques sont des groupes classiques (ou liés à ceux-ci). Sans contexte ou qualificatif, l'expression groupe classique est ambiguë. Dans certains contextes, on peut lever l'ambiguïté : il y a les groupes de Lie simples classiques et les groupes algébriques simples classiques, ainsi que les groupes finis simples classiques. L'expression groupe classique aurait été créée par Hermann Weyl, et c'est lui qui l'a popularisée dans son traité The Classical Groups. Dans ce qui suit, les corps ne sont pas supposés être commutatifs. Dans ce qui suit, tous les espaces vectoriels sont supposés être de dimension finie non nulle. Les principaux exemples de groupes classiques sont les suivants. Le groupe général linéaire GL(E) d'un espace vectoriel E de dimension finie non nulle sur un corps D. Le groupe orthogonal O(q) d'une forme quadratique non dégénérée q sur un espace vectoriel E de dimension finie supérieure ou égale à 2 sur un corps commutatif K. Si la caractéristique du corps est 2, on peut prendre une forme bilinéaire symétrique plutôt qu'une forme quadratique. Le groupe symplectique Sp(φ) d'une forme bilinéaire alternée non dégénérée φ sur un espace vectoriel E de dimension finie paire supérieure ou égal à 2 sur un corps commutatif K.