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Concept
Théorème de Noether (physique)
Résumé
Le théorème de Noether exprime l'équivalence qui existe entre les lois de conservation et l'invariance du lagrangien d'un système par certaines transformations (appelées symétries) des coordonnées.
Démontré en 1915 et publié en 1918 par la mathématicienne Emmy Noether à Göttingen, ce théorème fut qualifié par Albert Einstein de « monument de la pensée mathématique » dans une lettre envoyée à David Hilbert en vue de soutenir la carrière de la mathématicienne.
Il est abondamment utilisé aujourd'hui par la physique théorique, où tout phénomène est abordé, chaque fois que possible, en matière de symétrie d'espace, de charges électriques, et même de temps.
Un autre énoncé équivalent est :
Chaque « invariance » traduit le fait que les lois de la physique ne changent pas lorsqu'une expérience subit la transformation correspondante, et donc, qu'il n'y a pas de référence absolue pour mener une telle expérience.
Soit , un jeu de coordonnées généralisées qui dépendent continûment d'un paramètre . Si le lagrangien est indépendant de , c'est-à-dire avec , alors :
est une intégrale première, c'est-à-dire que est invariant dans le temps : .
En effet :
(en utilisant les équations d'Euler-Lagrange , et )
Remarque : Dans le cas général, on n'a pas nécessairement un unique paramètre mais plutôt un jeu de paramètres auxquels vont correspondre les invariants
Soit un Lagrangien qui dépend de coordonnées généralisées , avec . Selon le principe de moindre action, l'action est stationnaire sur une trajectoire physique. Ceci mène directement aux équations d'Euler-Lagrange :
Aussi, sous une transformation infinitésimale des coordonnées , si le Lagrangien est invariant à une dérivée temporelle totale près ( : , pour une fonction quelconque qui ne dépend que des coordonnées généralisées et du temps), alors les équations du mouvement sont inchangées. Sous cette hypothèse, en calculant le Lagrangien au premier ordre du développement de Taylor, on obtient :
Notons que le deuxième terme de la seconde ligne n'est autre que l'un des termes obtensible via la règle de Leibniz :
Nous avons donc simplement remplacé par les autres termes de la règle en tenant compte du facteur .
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