Application identité

En mathématiques, l'application identité ou la fonction identité est l'application qui n'a aucun effet lorsqu'elle est appliquée à un élément : elle renvoie l'argument sur lui-même. Formellement, sur un ensemble , c'est l'application : Le graphe de l'application identité de est appelé la diagonale du produit cartésien . Pour l'ensemble des réels, ce graphe est la première bissectrice du plan euclidien. vignette|Graphe de la fonction identité sur . L'application identité de est notée ou . Quand il n'y a pas d'ambiguïté sur l'ensemble sur lequel on travaille, on la note simplement ou . Pour toute application d'un ensemble dans un ensemble , on a : En particulier, l'application identité est l'élément neutre du monoïde des applications de dans lui-même muni de la composition de fonctions, et du groupe des bijections de dans lui-même, appelé le groupe symétrique de . Si est un espace vectoriel, alors est une application linéaire et son déterminant vaut . De plus, si est de dimension finie , alors la matrice représentant est la matrice identité dans n'importe quelle base de : L'application identité permet de comparer deux topologies : sur , une topologie est plus fine qu'une topologie lorsque est continue de dans .