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Concept
Troisième problème de Hilbert
Résumé
vignette|Illustration de l'invariant de Dehn
Le troisième problème de Hilbert est l'un des 23 problèmes de Hilbert. Considéré comme le plus facile, il traite de la géométrie des polyèdres.
David Hilbert conjectura que ce n'était pas toujours vrai. Ce fut confirmé dans l'année par son élève, Max Dehn, qui fournit un contre-exemple.
Pour le problème analogue concernant les polygones, la réponse est affirmative. Le résultat est connu sous le nom du théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien.
Dehn utilise l'algèbre pour nier la possibilité du découpage. Lorsque le premier polyèdre peut être effectivement découpé en un nombre fini de polyèdres qui se rassemblent pour former le second, les polyèdres sont dits congruents.
À chaque polyèdre P, on associe une valeur D(P), appelée « invariant de Dehn », telle que
Par conséquent :
Or le cube a un invariant de Dehn nul, tandis que le tétraèdre régulier a un invariant de Dehn non nul. Ces deux polyèdres ne sont donc pas congruents.
L'invariant se définit sur les longueurs et les angles dièdres. Observons :
un découpage par un plan divise les longueurs de certaines arêtes en deux. Il faut donc que l'invariant soit additif en ces longueurs ;
de même, si un polyèdre est divisé selon une arête, l'angle dièdre correspondant est coupé en deux. Il faut donc que l'invariant soit additif en ces angles ;
enfin, le découpage fait apparaître de nouvelles arêtes ; donc des nouvelles longueurs, et des nouveaux angles dièdres supplémentaires. Ces contributions doivent s'annuler. C'est pour cela que l'on va quotienter par le second membre du produit tensoriel suivant.
L'invariant de Dehn se définit comme un élément du produit tensoriel sur de deux -modules : le groupe additif des réels et le quotient .
où est la longueur de l'arête , est l'angle dièdre entre les faces adjacentes à , et la somme est prise sur toutes les arêtes du polyèdre.
démontra en 1965 que deux polyèdres sont congruents si (et seulement si) ils ont même volume et même invariant de Dehn.
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