Troisième problème de Hilbert

vignette|Illustration de l'invariant de Dehn Le troisième problème de Hilbert est l'un des 23 problèmes de Hilbert. Considéré comme le plus facile, il traite de la géométrie des polyèdres. David Hilbert conjectura que ce n'était pas toujours vrai. Ce fut confirmé dans l'année par son élève, Max Dehn, qui fournit un contre-exemple. Pour le problème analogue concernant les polygones, la réponse est affirmative. Le résultat est connu sous le nom du théorème de Wallace-Bolyai-Gerwien. Dehn utilise l'algèbre pour nier la possibilité du découpage. Lorsque le premier polyèdre peut être effectivement découpé en un nombre fini de polyèdres qui se rassemblent pour former le second, les polyèdres sont dits congruents. À chaque polyèdre P, on associe une valeur D(P), appelée « invariant de Dehn », telle que Par conséquent : Or le cube a un invariant de Dehn nul, tandis que le tétraèdre régulier a un invariant de Dehn non nul. Ces deux polyèdres ne sont donc pas congruents. L'invariant se définit sur les longueurs et les angles dièdres. Observons : un découpage par un plan divise les longueurs de certaines arêtes en deux. Il faut donc que l'invariant soit additif en ces longueurs ; de même, si un polyèdre est divisé selon une arête, l'angle dièdre correspondant est coupé en deux. Il faut donc que l'invariant soit additif en ces angles ; enfin, le découpage fait apparaître de nouvelles arêtes ; donc des nouvelles longueurs, et des nouveaux angles dièdres supplémentaires. Ces contributions doivent s'annuler. C'est pour cela que l'on va quotienter par le second membre du produit tensoriel suivant. L'invariant de Dehn se définit comme un élément du produit tensoriel sur de deux -modules : le groupe additif des réels et le quotient . où est la longueur de l'arête , est l'angle dièdre entre les faces adjacentes à , et la somme est prise sur toutes les arêtes du polyèdre. démontra en 1965 que deux polyèdres sont congruents si (et seulement si) ils ont même volume et même invariant de Dehn.

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Pyramide

En géométrie, une pyramide (du grec ancien ) à n côtés est un polyèdre à n + 1 faces, formé en reliant une base polygonale de n côtés à son sommet ou sommet opposé à la base (également appelé apex), par n faces triangulaires (n ≥ 3). Lorsque cela n'est pas précisé, la base est supposée carrée. Pour une pyramide triangulaire chaque face peut servir de base, avec le sommet opposé pour apex. Le tétraèdre régulier, un des solides de Platon, est une pyramide triangulaire.

Max Dehn

Max Dehn ( – ) est un mathématicien allemand. Il a étudié les fondements de la géométrie avec Hilbert à Göttingen en 1899, et obtenu une preuve du théorème de Jordan pour les polygones. En 1900, il a soutenu sa thèse sur le rôle du dans la géométrie axiomatique. En 1900, il a aussi résolu le troisième problème de Hilbert. Il était en poste de 1900 à 1911 à l'université de Münster. Ses intérêts se tournent ensuite vers la topologie et la théorie combinatoire des groupes.

Dehn invariant

In geometry, the Dehn invariant is a value used to determine whether one polyhedron can be cut into pieces and reassembled ("dissected") into another, and whether a polyhedron or its dissections can tile space. It is named after Max Dehn, who used it to solve Hilbert's third problem by proving that not all polyhedra with equal volume could be dissected into each other. Two polyhedra have a dissection into polyhedral pieces that can be reassembled into either one, if and only if their volumes and Dehn invariants are equal.

Programmation linéaire et intégrale MATH-504: Integer optimisation

Couvre la théorie de la programmation linéaire et intégrale, en se concentrant sur la coque entière et la polyèdre rationnelle.