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Concept
Norme matricielle
Résumé
En mathématiques, une norme matricielle est un cas particulier de norme vectorielle, sur un espace de matrices.
Dans ce qui suit, K désigne le corps des réels ou des complexes.
Certains auteurs définissent une norme matricielle comme étant simplement une norme sur un espace vectoriel M(K) de matrices à m lignes et n colonnes à coefficients dans K.
Pour d'autres, une norme matricielle est seulement définie sur une algèbre M(K) de matrices carrées et est une norme d'algèbre, c'est-à-dire qu'elle est de plus sous-multiplicative.
La norme de Frobenius sur est celle qui dérive du produit scalaire ou hermitien standard sur cet espace, à savoir
où désigne la matrice adjointe de et la trace. La norme de Frobenius est souvent notée
C'est la norme euclidienne ou hermitienne standard de la matrice considérée comme une collection de scalaires.
Si , le point de vue précédent permet d'en déduire le sous-différentiel de la norme de Frobenius, qui s'écrit en :
En réalité, est différentiable sauf en zéro où est la boule unité pour la norme de Frobenius.
La norme de Frobenius n'est pas une norme subordonnée, parce que (on a noté l'opérateur identité sur ), mais c'est une norme sous-multiplicative : .
La norme de Frobenius peut s'étendre à un espace hilbertien (de dimension infinie) ; on parle alors de norme de Hilbert-Schmidt ou encore norme 2 de Schatten.
On peut aussi voir une matrice A ∈ M(K) comme un opérateur linéaire de K dans K et lui associer différents types de normes d'opérateur, à partir des normes utilisées sur K et K. Par exemple, si l'on munit K de la norme p et K de la norme q (avec p, q ∈ [1, ∞]), on obtient la norme d'opérateur
En particulier, on note parfois
que l'on appelle parfois la norme spectrale ou encore norme ∞ de Schatten.
La norme duale de la norme spectrale pour le produit scalaire ou hermitien standard de M(K), notée et définie par
porte différents noms : norme nucléaire ou norme de Ky Fan ou encore norme 1 de Schatten.
La , due à Robert Schatten, est définie en A ∈ M(K) par
où est le vecteur des valeurs singulières de .
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