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Concept
Rayon spectral
Résumé
In mathematics, the spectral radius of a square matrix is the maximum of the absolute values of its eigenvalues. More generally, the spectral radius of a bounded linear operator is the supremum of the absolute values of the elements of its spectrum. The spectral radius is often denoted by ρ(·).
Let λ1, ..., λn be the eigenvalues of a matrix A ∈ Cn×n. The spectral radius of A is defined as
The spectral radius can be thought of as an infimum of all norms of a matrix. Indeed, on the one hand, for every natural matrix norm ; and on the other hand, Gelfand's formula states that . Both of these results are shown below.
However, the spectral radius does not necessarily satisfy for arbitrary vectors . To see why, let be arbitrary and consider the matrix
The characteristic polynomial of is , so its eigenvalues are and thus . However, . As a result,
As an illustration of Gelfand's formula, note that as , since if is even and if is odd.
A special case in which for all is when is a Hermitian matrix and is the Euclidean norm. This is because any Hermitian Matrix is diagonalizable by a unitary matrix, and unitary matrices preserve vector length. As a result,
In the context of a bounded linear operator A on a Banach space, the eigenvalues need to be replaced with the elements of the spectrum of the operator, i.e. the values for which is not bijective. We denote the spectrum by
The spectral radius is then defined as the supremum of the magnitudes of the elements of the spectrum:
Gelfand's formula, also known as the spectral radius formula, also holds for bounded linear operators: letting denote the operator norm, we have
A bounded operator (on a complex Hilbert space) is called a spectraloid operator if its spectral radius coincides with its numerical radius. An example of such an operator is a normal operator.
The spectral radius of a finite graph is defined to be the spectral radius of its adjacency matrix.
This definition extends to the case of infinite graphs with bounded degrees of vertices (i.e.
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Concepts associés (9)
Norme matricielle
En mathématiques, une norme matricielle est un cas particulier de norme vectorielle, sur un espace de matrices. Dans ce qui suit, K désigne le corps des réels ou des complexes. Certains auteurs définissent une norme matricielle comme étant simplement une norme sur un espace vectoriel M(K) de matrices à m lignes et n colonnes à coefficients dans K. Pour d'autres, une norme matricielle est seulement définie sur une algèbre M(K) de matrices carrées et est une norme d'algèbre, c'est-à-dire qu'elle est de plus sous-multiplicative.
Valeur propre, vecteur propre et espace propre
En mathématiques, et plus particulièrement en algèbre linéaire, le concept de vecteur propre est une notion algébrique s'appliquant à une application linéaire d'un espace dans lui-même. Il correspond à l'étude des axes privilégiés, selon lesquels l'application se comporte comme une dilatation, multipliant les vecteurs par une même constante. Ce rapport de dilatation est appelé valeur propre, les vecteurs auxquels il s'applique s'appellent vecteurs propres, réunis en un espace propre.
Rayon spectral
Soit un endomorphisme sur un espace de Banach complexe , on appelle rayon spectral de , et on note , le rayon de la plus petite boule fermée de centre 0 contenant toutes les valeurs spectrales de . Il est toujours inférieur ou égal à la norme d'opérateur de . En dimension finie, pour un endomorphisme de valeurs propres complexes , le rayon spectral est égal à . Par conséquent, pour toute norme matricielle N, c'est-à-dire toute norme d'algèbre sur (respectivement ) et pour toute matrice A dans (respectivement ), .
MOOCs associés (9)
Algèbre Linéaire (Partie 1)
Un MOOC francophone d'algèbre linéaire accessible à tous, enseigné de manière rigoureuse et ne nécessitant aucun prérequis.
Algèbre Linéaire (Partie 1)
Un MOOC francophone d'algèbre linéaire accessible à tous, enseigné de manière rigoureuse et ne nécessitant aucun prérequis.
Algèbre Linéaire (Partie 2)
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