Problèmes de Hilbert

Lors du deuxième congrès international des mathématiciens, tenu à Paris en août 1900, David Hilbert entendait rivaliser avec le maître des mathématiques françaises, Henri Poincaré, et prouver qu'il était de la même étoffe. Il présenta une liste de problèmes qui tenaient jusqu'alors les mathématiciens en échec. Ces problèmes devaient, selon Hilbert, marquer le cours des mathématiques du , et l'on peut dire aujourd'hui que cela a été grandement le cas. Publiée après la tenue du congrès, la liste définitive comprenait 23 problèmes, aujourd'hui appelés les problèmes de Hilbert. Les sections suivantes présentent brièvement chaque problème. Hypothèse du continu Il s'agit de l'hypothèse du continu de Cantor, notée HC. Ce résultat aurait eu pour conséquence que le cardinal infini qui suit immédiatement le dénombrable, est celui du continu. Kurt Gödel a montré en 1938 que l'on ne pouvait pas démontrer la négation de HC dans la théorie des ensembles ZFC — plus précisément : que si ZF est cohérente alors ZFC+HC aussi — et Paul Cohen, en 1963, que l'on ne pouvait pas non plus démontrer HC (dans cette même théorie) : on dit que cette conjecture est indécidable dans la théorie ZFC (ou indépendante de celle-ci). Ce qui amène à des théories des ensembles avec ou sans cette hypothèse. Comme on considère que la théorie ZFC permet largement de formaliser le développement des mathématiques jusqu'à aujourd'hui, la question peut paraître réglée. Cependant, l'existence d'axiomes supplémentaires « naturels » qui s'ajouteraient à la théorie ZFC et pourraient décider l'hypothèse du continu reste un domaine de recherche. Dans son premier problème, Hilbert rappelait une autre conjecture de Cantor dont il espérait — à double tort — qu'elle ait une solution effective et qu'elle aide à résoudre la précédente : En effet, cet énoncé est indécidable dans ZF mais — d'après le théorème de Zermelo — démontrable dans ZFC. Gödel montra en 1931, via son théorème d'incomplétude, que cela ne pouvait être démontré sans sortir de l'arithmétique.

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In mathematics, Hilbert's second problem was posed by David Hilbert in 1900 as one of his 23 problems. It asks for a proof that the arithmetic is consistent – free of any internal contradictions. Hilbert stated that the axioms he considered for arithmetic were the ones given in , which include a second order completeness axiom. In the 1930s, Kurt Gödel and Gerhard Gentzen proved results that cast new light on the problem. Some feel that Gödel's theorems give a negative solution to the problem, while others consider Gentzen's proof as a partial positive solution.

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