Coordonnées isothermalesEn mathématiques, et plus particulièrement en géométrie différentielle, les coordonnées isothermales d'une variété riemannienne sont des coordonnées locales où le tenseur métrique est conforme à la métrique euclidienne. Cela signifie qu'en coordonnées isothermales, la métrique riemannienne a localement la forme : où est une fonction de classe . Les coordonnées isothermales sur les surfaces ont d'abord été introduites par Gauss. Korn et Lichtenstein ont par la suite prouvé que les coordonnées isothermales existent autour de tout point d'une variété riemannienne de dimension 2.
Repère de DarbouxEn géométrie différentielle, le repère de Darboux est un repère utile pour l'étude des courbes tracées sur une surface de l'espace euclidien orienté à trois dimensions. Il permet la définition des courbures normale et géodésique, et de la torsion géodésique. Il ne faut pas confondre ce repère avec la notion de base de Darboux en géométrie symplectique. On suppose que Σ est une nappe paramétrée de l'espace euclidien orienté E à trois dimensions, de paramétrage donnée par la fonction M(u, v) de classe (k>1) d'un domaine de R2 dans E.
Théorème de Hilbert (géométrie différentielle)En géométrie différentielle, le théorème de Hilbert, publié par David Hilbert en 1901, affirme qu'on ne peut pas représenter le plan hyperbolique dans l'espace usuel, ou plus rigoureusement qu'il n'existe pas de surfaces régulières de courbure constante négative immergées isométriquement dans . David Hilbert publia son théorème sous le titre Über Flächen von konstanter Krümmung (Sur les surfaces de courbure constante) dans les Transactions of the American Mathematical Society (1901, vol. 2, p. 87-99).
Pu's inequalityIn differential geometry, Pu's inequality, proved by Pao Ming Pu, relates the area of an arbitrary Riemannian surface homeomorphic to the real projective plane with the lengths of the closed curves contained in it. A student of Charles Loewner, Pu proved in his 1950 thesis that every Riemannian surface homeomorphic to the real projective plane satisfies the inequality where is the systole of . The equality is attained precisely when the metric has constant Gaussian curvature.
Filling area conjectureIn differential geometry, Mikhail Gromov's filling area conjecture asserts that the hemisphere has minimum area among the orientable surfaces that fill a closed curve of given length without introducing shortcuts between its points. Every smooth surface M or curve in Euclidean space is a metric space, in which the (intrinsic) distance dM(x,y) between two points x, y of M is defined as the infimum of the lengths of the curves that go from x to y along M.
Équation de LiouvilleFor Liouville's equation in dynamical systems, see Liouville's theorem (Hamiltonian). For Liouville's equation in quantum mechanics, see Von Neumann equation. For Liouville's equation in Euclidean space, see Liouville–Bratu–Gelfand equation. In differential geometry, Liouville's equation, named after Joseph Liouville, is the nonlinear partial differential equation satisfied by the conformal factor f of a metric f^2(dx^2 + dy^2) on a surface of constant Gaussian curvature K: where ∆_0 is the flat Laplace operator Liouville's equation appears in the study of isothermal coordinates in differential geometry: the independent variables x,y are the coordinates, while f can be described as the conformal factor with respect to the flat metric.
Triangle hyperboliquedroite|vignette|250x250px| Un triangle hyperbolique sur une surface en selle de cheval. Un triangle hyperbolique est, en géométrie hyperbolique, un triangle dans le plan hyperbolique. Comme en géométrie plane, un triangle est constitué de trois segments (ses côtés) reliant trois points (ses sommets). Tout comme dans le cas euclidien, trois points d'un espace hyperbolique de dimension quelconque sont toujours coplanaires. Il suffit donc de caractériser les triangles dans le plan hyperbolique pour en avoir une description dans tous les espaces hyperboliques de dimensions supérieures.
Fundamental polygonIn mathematics, a fundamental polygon can be defined for every compact Riemann surface of genus greater than 0. It encodes not only the topology of the surface through its fundamental group but also determines the Riemann surface up to conformal equivalence. By the uniformization theorem, every compact Riemann surface has simply connected universal covering surface given by exactly one of the following: the Riemann sphere, the complex plane, the unit disk D or equivalently the upper half-plane H.
Courbure principaleEn géométrie différentielle des surfaces, les deux courbures principales d'une surface sont les courbures de cette surface selon deux directions perpendiculaires appelées directions principales. On montre que ce sont les courbures minimale et maximale rencontrées en faisant tourner le plan de coupe. Les courbures principales sont les valeurs propres de l'endomorphisme de Weingarten. Elles caractérisent la géométrie locale des surfaces à l'ordre 2.
Courbure de Gaussvignette|De gauche à droite : une surface de courbure de Gauss négative (un hyperboloïde), une surface de courbure nulle (un cylindre), et une surface de courbure positive (une sphère). vignette|Certains points du tore sont de courbure positive (points elliptiques) et d'autres de courbure négative (points hyperboliques) La courbure de Gauss, parfois aussi appelée courbure totale, d'une surface paramétrée X en X(P) est le produit des courbures principales. De manière équivalente, la courbure de Gauss est le déterminant de l'endomorphisme de Weingarten.
