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Concept
Triangle hyperbolique
Résumé
droite|vignette|250x250px| Un triangle hyperbolique sur une surface en selle de cheval.
Un triangle hyperbolique est, en géométrie hyperbolique, un triangle dans le plan hyperbolique. Comme en géométrie plane, un triangle est constitué de trois segments (ses côtés) reliant trois points (ses sommets).
Tout comme dans le cas euclidien, trois points d'un espace hyperbolique de dimension quelconque sont toujours coplanaires. Il suffit donc de caractériser les triangles dans le plan hyperbolique pour en avoir une description dans tous les espaces hyperboliques de dimensions supérieures.
droite|vignette|Un pavage triangulaire régulier d'ordre 7 du plan hyperbolique est composé de triangles équilatéraux dont les angles valent 2π/7 radians.
Un triangle hyperbolique se compose de trois points non colinéaires et des trois segments qui les relient.
Les triangles hyperboliques ont des propriétés analogues à celles des triangles en géométrie euclidienne :
Tout triangle hyperbolique a un cercle inscrit. Par contre, tous les triangles hyperboliques n'ont pas de cercle circonscrit. Ses sommets peuvent se trouver sur un horocycle ou un hypercycle.
Les triangles hyperboliques ont des propriétés analogues à celles des triangles en géométrie sphérique ou elliptique :
deux triangles qui ont même somme des angles ont même aire ;
il existe une borne supérieure pour l'aire des triangles ;
il existe une borne supérieure pour le rayon du cercle inscrit ;
deux triangles sont congruents si et seulement on peut transformer l'un en l'autre par une composition finie de symétries axiales ;
Deux triangles dont les angles correspondants égaux sont congruents (c'est-à-dire que tous les triangles semblables sont congruents).
Les triangles hyperboliques ont des propriétés qui sont à l'opposé des propriétés des triangles en géométrie sphérique ou elliptique :
la somme des angles d'un triangle est inférieure à 180° ;
l'aire d'un triangle est proportionnelle à la différence entre la somme de ses angles à partir de 180°.
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