Algèbre de Kleene

En mathématiques, une algèbre de Kleene (du nom du logicien américain Stephen Cole Kleene) correspond à l'un des deux concepts suivants : Un treillis ordonné et distributif avec une involution satisfaisant les lois de De Morgan et l'inégalité x ∧ −x ≤ y ∨ −y. Ce qui fait que chaque algèbre booléenne est une algèbre de Kleene, la réciproque étant complément. À l'instar des algèbres de Boole qui sont basées sur les propositions logiques classiques, les algèbres de Kleene sont basées sur la logique ternaire de Kleene. Une structure algébrique qui généralise les opérations connues à partir d'expressions rationnelles. La suite de cet article traitera de cette notion d'algèbre de Kleene. À l'origine de cette notion on trouve le mathématicien John Horton Conway qui l'a introduite sous le nom d'algèbres régulières. De nombreuses définitions non équivalentes des algèbres de Kleene et des structures liées ont été données dans la littérature. Nous donnerons ici la définition qui semble la plus communément admise aujourd'hui. Une algèbre de Kleene est un ensemble doté des deux lois de composition interne + : A × A → A et · : A × A → A, et de l'opérateur * : A → A. Ces lois et cet opérateur sont notés a + b, ab et a* respectivement. Ces opérations satisfont aux axiomes suivants : associativité de + et · : a + (b + c) = (a + b) + c et a(bc) = (ab)c pour tout a, b, c de A. commutativité de + : a + b = b + a pour tout a, b de A. distributivité : a(b + c) = (ab) + (ac) et (b + c)a = (ba) + (ca) pour tout a, b, c de A. éléments neutres pour + et · : il existe un élément 0 de A tel que pour tout a de A : a + 0 = 0 + a = a. Il existe un élément 1 de A tel que pour tout a de A : a1 = 1a = a. 0 est un élément absorbant : a0 = 0a = 0 pour tout a de A. Les axiomes ci-dessus définissent un demi-anneau. On ajoute : l'idempotence de + : pour tout a de A, a + a = a. Il est dès lors possible de définir un préordre ≤ sur A en postulant a ≤ b si et seulement si a + b = b (ou de manière équivalente, a ≤ b si et seulement il existe c dans A tel que a + c = b).